1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,...の和
これはｎ項目までと判断します

まず一般項ですが
初項が１　2項目が１＋２ということは
一般項＝第ｎ項目は
　　　＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ
つまりａｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
あとは和ですが

Ｓｎ＝Σ[ｋ＝1からｎ]｛ｋ（ｋ＋１）／２｝
　　＝１／２｛Σ（ｋ＾２）＋Σｋ｝
＝１／２｛ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６　
　　　＋ｎ（ｎ＋１）／２｝
＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６