「メルカトルの級数」という名前は初めて聞いた…。
\log{1 + x} = x - (\(x^{2}\))/2 + (\(x^{3}\))/3 - … - (-1\()^{n}\) (\(x^{n}\))/n - …
(-1 ＜ x ≦ 1) というやつですか。Taylor の定理から示されます。

ライプニッツの級数というのは、
\pi / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - … + (-1\()^{n}\) / (2n + 1) + …
というやつですね。
(Arctan x)' = 1 / (1 + \(x^{2}\))
= \sum_\(0^{n}\) (-\(x^{2}\)\()^{n}\) + ((-1)^{n+1} x^{2n+2}) / (1 + \(x^{2}\))
を 0 から 1 まで積分して、誤差項を評価してください。□