学校の宿題なんですが、
“\(\sqrt{\quad}\)３が無理数であることを用いて、\(\sqrt{\quad}\)１２が無理数であることを証明せよ”
という問題がよく分かりません・・・
１＋\(\sqrt{\quad}\)３が無理数であることを証明するのはなんとか分かったのですが・・・
教えていただけないでしょうか？？？（＞＜）
★希望★完全解答★
学校の宿題なんですが、
“\(\sqrt{\quad}\)３が無理数であることを用いて、\(\sqrt{\quad}\)１２が無理数であることを証明せよ”
という問題がよく分かりません・・・
１＋\(\sqrt{\quad}\)３が無理数であることを証明するのはなんとか分かったのですが・・・
教えていただけないでしょうか？？？（＞＜）
★希望★完全解答★
\(\sqrt{\quad}\)１２＝２\(\sqrt{\quad}\)３で、無理数×整数は直感的に無理数ですね。
（だって、無理数とは循環しない無限小数だから、例えば２倍したって
循環しない無限小数になるでしょ）
でも、証明だから背理法を用いて見ましょう。
結論を否定するので、２\(\sqrt{\quad}\)３を有理数と仮定する。
よって、２\(\sqrt{\quad}\)３＝Ｐ/Ｑ（Ｐ、Ｑは互いに素である整数）とおける。
両辺２で割ると、\(\sqrt{\quad}\)３＝Ｐ/（２Ｑ）
ここで、右辺は有理数（整数÷整数だから）、
左辺は仮定より無理数であるから矛盾。
よって、２\(\sqrt{\quad}\)３＝\(\sqrt{\quad}\)１２は無理数