ｃｏｓθ＝ｘ,ｓｉｎθ＝ｙとおくと、
(ｃｏｓθ\()^{2}\)＋(ｓｉｎθ\()^{2}\)＝１とあわせて、
４ｘ＋２ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)２　･･･①
ｘ^2＋ｙ^2＝１　　･･･②
これをといて、
（ｘ、ｙ）＝（（\(\sqrt{\quad}\)2)/2,（－\(\sqrt{\quad}\)2)/2），
　　　　　　（（－\(\sqrt{\quad}\)2)/10，（7\(\sqrt{\quad}\)2)/10）
ここで、0°≦θ≦180°よりｓｉｎθ≧0だから、
1つ目の解は不適。
よって、ｔａｎθ＝ｓｉｎθ/ｃｏｓθ＝－７

もしも cosθ=0 だとすると 0°≦θ≦180°より
θ＝90°。
このとき sinθ＝sin 90°＝1 で，
与えられた等式をみたさないので不適。
つまり cosθ≠0 である。
cosθで等式の両辺を割ると
4＋2tanθ＝\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{2}{c}\)osθ。
これより \(\frac{1}{c}\)osθ=2\(\sqrt{\quad}\)2+\(\sqrt{\quad}\)2tanθ。
θ(≠90°)の値によらずに成り立つ等式
1+ta\(n^{2}\)θ=\(\frac{1}{c}\)o\(s^{2}\)θ に代入すると
1+ta\(n^{2}\)θ＝8+8tanθ+2ta\(n^{2}\)θ。
よって ta\(n^{2}\)θ+8tanθ+7=0。
因数分解できて (tanθ+1)(tanθ+7)=0。
よってtanθ=-1 または -7。
途中で式を2乗したために2次方程式になり，
解が2つ出てきてしまったので，
これらふたつともが答えなのかどうかを
検証する必要がある。
まず，0°≦θ≦180°のとき sinθ≧0 であるから
tanθ=sinθ/cosθ より tanθ と cosθ の正負の
符号が一致することに注意する。
tanθ=-1 のとき，1+ta\(n^{2}\)θ=\(\frac{1}{c}\)o\(s^{2}\)θ より
cosθ=\(\pm\)1/\(\sqrt{\quad}\)2。
tanθ＜0 より cosθ＜0 でなければならないので，
cosθ=-1/\(\sqrt{\quad}\)2。
このとき sinθ=\(\sqrt{\quad}\)(1-co\(s^{2}\)θ)=1/\(\sqrt{\quad}\)2 で，
4cosθ＋2sinθ＝-\(\sqrt{\quad}\)2 となって等式を
みたさないため不適。
tanθ=-7 のとき，1+ta\(n^{2}\)θ=\(\frac{1}{c}\)o\(s^{2}\)θ より
cosθ=\(\pm\)\(\frac{1}{5}\)\(\sqrt{\quad}\)2。
やはり tanθ＜0 より cosθ=-\(\frac{1}{5}\)\(\sqrt{\quad}\)2。
このとき sinθ=\(\sqrt{\quad}\)(1-co\(s^{2}\)θ)=\(\sqrt{\quad}\)(\(\frac{49}{50}\))=\(\frac{7}{5}\)\(\sqrt{\quad}\)2
となり，確かに与えられた等式をみたす。
よって答えは tanθ＝-7。