下記の問題がわかりません。
問 次の命題は成り立つか？α、βは実数とする。
どのような負でない実数x、yをとっても、つねにαx+βy≧0
が成り立つならばα≧0かつβ≧0である。
解答は「かならず成り立つ」なのですが、わたしは成り立た
ないと思うのです。
どうしてかというと
命題の対偶は「α＜0またはβ＜0ならば、ある正の数x、yに
対してつねにαx+βy＜0が成り立つ」となりますよね。
ここでα＜0、β＞0の場合を考えると、αx＜0、βy＞0です
から、当然αx+βy＜0は成り立つとはかぎらないと思います。
正解を教えてください。
命題「すべての正数ｘ，ｙについて、αｘ＋βｙ≧０ならば、
α≧０かつβ≧０である。」が真であることを証明してみる
と、
αｘ＋βｙ≧０より、βｙ≧－αｘ
（ア）β＞０のとき
α
ｙ≧－─ｘ
β
｛イ｝α≧０ならば、図①
｛ロ｝α＜０ならば、図②
（イ）β＜０のとき
α
ｙ≦－─ｘ
β
｛イ｝α≧０ならば、図③
｛ロ｝α＜０ならば、図④
（ウ）β＝０のとき
αｘ≧０
｛イ｝α≧０ならば、図⑤
｛ロ｝α＜０ならば、図⑥
束縛変数「すべての正数ｘ，ｙについて」が満足するのは、
図①と図⑤のときだけだから
∴α≧０かつβ≧０
したがって、この命題は真であることが言える。
質問の対偶を使った証明で、この命題が偽であることを言っ
ているが、全称記号∀「すべての」の対偶である存在記号∃
「ある特定の」についての解釈に誤りがあるように思われま
す。つまり、α＜０，β＞０の場合、αｘ＋βｙ＜０は成り
立つとは限りないといっているが、しかし、成り立つ特定の
ｘ，ｙがあれば良いので、これをもって命題が偽であるとは
言えない。