半径２の円に内接し、∠ＡＣＢ＝３０°である三角形ＡＢＣについての問です。
（１）ＡＢ＝２　
（２）三角形ＡＢＣの面積の最大値は２＋\(\sqrt{\quad}\)３
についてですが・・・どうやって２＋\(\sqrt{\quad}\)３を求めるのでしょうか。

図形で考えましょう。
（１）で三角形の外接円Ｏの半径は２で、正弦定理を用いるとＡＢ＝２が求まり
ます。ということは、三角形ＯＡＢは1辺の長さが２の正三角形ですね。
また、Ｃは円周上を∠ＡＣＢ＝３０°を満たしながら動きます。
さて、三角形ＡＢＣの面積を最大にするには、ＡＢを底辺としたときＣが
どこにいる時が最大でしょうか？。
そうです、ＣＡ＝ＣＢとなるところですね。
このときＣからＡＢに垂線を下ろし交点をＤとするとＣＤは原点Ｏを通るので、
ＣＤ＝ＣＯ＋ＯＤ＝２＋\(\sqrt{\quad}\)３
（何故ならＣＯは半径２でありＯＤは一辺２の正三角形の高さだからです。）

数式を用いても（余弦定理と相加相乗平均の関係など利用）できそうですが、
上のように考えるのがやさしいと個人的には思います。

（１）
正弦定理から
ＡＢ／ｓｉｎ３０°＝４
ゆえに
ＡＢ＝２

（２）
ＡＣ＝ｘ，ＢＣ＝ｙとおく
△ＡＢＣ＝（１／２）ｘｙｓｉｎ３０°
　　　　＝（１／４）ｘｙ・・・①
また余弦定理から
ｘ^2＋ｙ^2－２ｘｙｃｏｓ３０°＝４
ｘ^2＋ｙ^2＝\(\sqrt{\quad}\)３・ｘｙ＋４・・・②
ここで
２ｘｙ≦ｘ^2＋ｙ^2　【∵（ｘ－ｙ）^2≧０】
②より
２ｘｙ≦\(\sqrt{\quad}\)３・ｘｙ＋４
（２－\(\sqrt{\quad}\)３）ｘｙ≦４
∴ｘｙ≦４／（２－\(\sqrt{\quad}\)３）
①より
△ＡＢＣ＝（１／４）ｘｙ≦１／（２－\(\sqrt{\quad}\)３）＝２＋\(\sqrt{\quad}\)３
よって
△ＡＢＣの面積の最大値は２＋\(\sqrt{\quad}\)３
等号が成り立つのはｘ＝ｙのとき
なぜなら（ｘ－ｙ）^2＝０となるときだから
つまり
△ＡＢＣがＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形のときであることがわかります。

こんな解法でいいのかなぁ？