はじめまして。今高校一年です。
因数分解からつまずき、なんとか頑張ってきましたが、
どうにもならなくなり投稿しました。
１４日までの宿題で、あまり時間がないのですが、
自力では出来なかった問題があるので教えてもらえませんか？
よろしくお願いします。
①｜ａ｜―｜ｂ｜≦｜ａ－ｂ｜が成り立つことを証明せよ。
②相加平均・相乗平均の関係を用いて、次の問いに答えよ。
ｘ＞０のとき、ｘ＋９／ｘの最小値を求めよ。
★希望★完全解答★
①（１）｜a｜－｜b｜≧０ の場合
（｜a｜－｜b｜）＾２ ≦｜a－b｜＾２
a＾２－２｜a｜｜b｜＋b＾２ ≦ a＾２－２ab＋b＾２
ここで、左右の辺を整理して、差が正になるようにします。
a＾２－２ab＋b＾２
－a＾２＋２｜a｜｜b｜－b＾２≧０
｜a｜｜b｜－ab ≧ ０
｜a｜｜b｜ ≧ ab
左辺は共に絶対値になりますから、必ず正になります。
右辺が左辺より大きくなる事はない。
よって、 ｜a｜－｜b｜≧０ のとき、
｜a｜－｜b｜≦｜a－b｜ ・ ・ ・ ・ ・ (1)
２．｜a｜－｜b｜≦０ の場合
｜a｜－｜b｜≦０だから、左辺は負です。
右辺は・・・｜a－b｜なのですから、絶対に正ですよつまり、 ｜a－b｜＞０
よって、｜a｜－｜b｜≦０ のとき、｜a｜－｜b｜≦｜a－b｜ ・ ・ ・ ・ ･ (2)
(1)(2) より、 ｜a｜－｜b｜≦｜a－b｜
（等号は ｜a｜｜b｜＝ab のときに成り立つ）
②相加相乗より ｘ＞０,９／ｘ＞０なので
ｘ＋ ９／ｘ ≧２\(\sqrt{\quad}\)｛ｘ・（９／ｘ）｝
ｘ＋ ９／ｘ ≧２\(\sqrt{\quad}\)９
ｘ＋ ９／ｘ ≧６
よって最小値６