（相加平均）≧（相乗平均）の不等式のちょっとした応用問題です。
y=x-1 とおくと x>1 より y>0 で，
x+1/(x-1)=1+y+\(\frac{1}{y}\)
となり，y>0，\(\frac{1}{y}\)>0 より相加平均と相乗平均の関係式が使えて
y+\(\frac{1}{y}\)≧2\(\sqrt{\quad}\)(y×\(\frac{1}{y}\))=2。
等号は y=\(\frac{1}{y}\) のとき成立。これは \(y^{2}\)=1 と同じことですが，
y>0 より y=1 です。このとき x=2 です。
まとめると，x>1 ならば必ず
x+1/(x-1)≧1+2=3
という不等式が成り立ち，等号は x=2 のとき成り立つので，
最小値は 3（x=2 のとき）。これが答えです。

x+1/(x-1)=1+(x-1)+1/(x-1)
ここでx>1よりx-1>0,\(\frac{1}{x}\)-1>0
よって相加・相乗平均の関係より
(x-1)+1/(x-1)>=2\(\sqrt{\quad}\)(x-1)/(x-1)=2
よってx+\(\frac{1}{x}\)-1>=3となり
最小値は３
このときのxはx-1=1/(x-1)とx>1よりx=1

前回質問された問題が相加相乗平均を利用したものだったので、
今回も相加相乗平均を用いる解法も参考になると思い投稿します。
ｘ＞１より、ｘ－１＞０、１／（ｘ－１）＞０
そこで、与式＝（ｘ－１）＋１／（ｘ－１）＋１と考える。
第１項目と２項目について相加相乗平均の関係から、
（ｘ－１）＋１／（ｘ－１）≧２\(\sqrt{\quad}\)｛（ｘ－１）×１／（ｘ－１）｝より
（ｘ－１）＋１／（ｘ－１）≧２
等号成立は、ｘ－１＝１／（ｘ－１）より、ｘ＝２
よって、
ｘ＋１／（ｘ－１）≧３　（等号はｘ＝２の時）となり、最小値は３となります。