次のような説明が個人的には気に入っています。

合成関数の微分法をご存知であると仮定します。

cを定数とするとき，(e^(cx))'=ce^(cx)．
c=log a とすると，\(e^{c}\)=a なので，
\(a^{x}\)=(\(e^{c}\)\()^{x}\)=e^(cx)．
よって (\(a^{x}\))'=(e^(cx))'=ce^(cx)=(log a)\(a^{x}\)．

ｆ（ｘ）＝ａ＾ｘとおくと
ｌｏｇ(a)ｆ（ｘ）＝ｘ
ここで底をｅに変換して（底のｅは省略）
ｌｏｇｆ（ｘ）
-------------＝ｘ
　ｌｏｇａ
両辺をｘで微分すると
1　　　ｆ’（ｘ）
--------・---------＝１
lｏｇａ ｆ（ｘ）
よって
ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）・ｌｏｇａ
　　　　　＝ａ^x・ｌｏｇａ
以上ですが
合成関数の微分とｌｏｇの微分を理解できている前提です。