ヒント希望とのことですので
（１）
頂点が第１象限ならば
頂点の
ｘ座標≧０かつｙ座標≧０

（２）
ｘ軸に接するから
ｘ＾２＋（ｋ－２）ｘ＋ｋ＾２＝０は重解をもつ
ならば、判別式＝０
ｙ＝２ｘ－５に接するから
ｘ＾２＋（ｋ－２）ｘ＋ｋ＾２＝２ｘ－５も重解をもつ
やっぱり、判別式＝０
この２つの判別式＝０を同時に満たすｋが分かればよい。

（３）
ｘ＾２＋（ｋ－２）ｘ＋ｋ＾２＝０
の２つの解は、ｘ軸との交点のｘ座標
２つの解をα、βとすると
｜α－β｜≧２
※
（α＜βとしてβ－α≧２としても一般性は失わないでしょう）
両辺を平方して
α＋βとαβの対象式に持ち込む
あとは、解と係数の関係です。

(1) 頂点の座標を k を用いた式で書き表します。
その座標を仮に (p,q) とおくと，
「頂点が第1象限にある」ことは
「p>0 かつ q>0 が成り立つ」ことと
言い換えられるので，このふたつの不等式を同時に
みたす k の範囲を決めればよいことになります。

(2) まず「x 軸と接する」ことは，グラフの頂点が
x 軸上にあることと同じなので，(1) で求めた
y 座標を 0 にするような k の値を求めます。
「直線 y=2x-5 と接する」ということは，
y=\(x^{2}\)+(k-2)x+\(k^{2}\) と y=2x-5 という連立方程式を
みたす解が一つしかないということですので，
y を消去して得られる x の2次方程式が重解をもつような k の値を，
判別式を用いて調べます。
「x 軸と接する」条件から出てきた k の値と
「直線 y=2x-5 と接する」条件から出てきた k の値で，共通するものが
答えになります。

(3) まず大前提として x 軸との交点がふたつ必ず
あるような k の範囲を調べておきます。
次に x 軸とふたつの交点をもつとして，その
x 座標を a, b としておきます。
線分 AB の長さは |a-b| で与えられるので，
|a-b|≧2 となる k の範囲を求めます。
このままでは扱いにくいので，
両辺を2乗して (a-b\()^{2}\)≧4 と書き直します。
a, b は方程式 0=\(x^{2}\)+(k-2)x+\(k^{2}\) の2解なので，
解と係数の関係より a+b=-(k-2)，ab=\(k^{2}\) です。
そして (a-b\()^{2}\)=(a+b\()^{2}\)-4ab なので
AB≧2 という条件を k のみで表すことができます。
その不等式をみたす k の範囲と，
最初に調べた「グラフが x 軸とふたつの
交点をもつような k の範囲」との共通部分が答えです。