(\(\frac{4}{59}\)\()^{n}\)では、私も解けなかったので
(\(\frac{4}{5}\)\()^{n}\)ということで書いておきます。
なお、nは整数・・ではないかと思われます。
対数の底を10として、底は省略します。
log2=0.30103は既知とします。

log4000＜n(log4-log5\()^{n}\)＜log5000
log4=2log2=0.60206
log5=log10-log2=1-log2=0.69897
log4000=2log2+3=3.60206
log5000=log5+3=3.6987
よって
3.60206＜-0.09691n＜3.6987
-37.169…＞n＞-38.166…
nが整数だとしたら
n=-38