２^9＝５１２
２^10＝１０２４
よって１０００以下の項は第９項までの９つ

２^n＝２・２^(n-1)・・・これがａ_nの一般項
等比数列の第ｎ項は ａｒ^(n-1)でしたね。
あとは等比数列の和の公式に当てはめればいいですね。
そこは自分でやってみてください。

調べると，\(2^{9}\)=512, \(2^{10}\)=1024 なので，1000 以下に
なるのは n=1, 2, ..., 9 の 9 個。
これらの和は，初項 a，公比 r の等比数列の初項から
第 k 項までの和の公式
a+ar+a\(r^{2}\)+...+ar^(k-1)=a(1-\(r^{k}\))/(1-r)
に当てはめると，今 a=2, r=2, k=9 なので
\(a_{1}\)+\(a_{2}\)+...+\(a_{9}\)=2(1-\(2^{9}\))/(1-2)=1022.