「任意の実数xに対して成り立つ」とは
「どんな実数xに対しても成り立つ」ということ。
等式においてこれが言えるのは恒等式、つまり左辺と右辺が全く同じ式である
ときということになります。

「xの整数」は「xの整式」という間違いであると仮定して（笑）

f(x) の最高次数を n とおくと
　f(x)=a\(x^{n}\)+…
　f'(x)=nax^(n-1)+…
f(2x)=2xf`(x)より
　\(2^{n}\)×a\(x^{n}\) + …=2na\(x^{n}\) +…
となるから、これが恒等式であるためには
　\(2^{n}\)×a=2na
両辺を a で割って
　\(2^{n}\)=2n　…♪
y=\(2^{x}\) と y=2x のグラフを考えれば、
２つは x=1 で接するため
この方程式♪を満たす n は n=1 のみである。
よって、f(x) は１次式であるから
　f(x)=ax+b
とおく。
f(2x)=2xf`(x)より
　2ax+b=2ax
よって、b=0
　　　　　　　　　　　　　答え　f(x)=ax

こんな感じでしょうか？

解答者が混乱するので問題は間違えない方がいいですよ。