この問題は一文字だけの最大最小問題に変換できます。

xの３乗を \(x^{3}\) のように書くことにします。
また1割る2のような分数を \(\frac{1}{2}\) と書きます。

y≧0, x+2y=6 という条件から 0≦2y=6-x.
これより x≦6.
x≧0 と合わせて 0≦x≦6. この範囲で，x の関数
f(x)=\(x^{3}\)+2\(y^{3}\)=\(x^{3}\)+2(3-\(\frac{x}{2}\)\()^{3}\)
=(\(\frac{3}{4}\))\(x^{3}\)+(\(\frac{9}{2}\))\(x^{2}\)-27x+54
の最小値を求めることにします。
それには微分して関数の増減を調べればよいです。
f'(x)=(\(\frac{9}{4}\))\(x^{2}\)+9x-27=(\(\frac{9}{4}\))(\(x^{2}\)+4x-12)
=(\(\frac{9}{4}\))(x-2)(x+6)
で，0≦x＜2 で f'(x)＜0 より f(x) は単調減少，
2＜x では f'(x)＞0 より f(x) は単調増加とわかります。
よって x=2 で f(x) は極小かつ最小です。
このとき y=2 なので，\(2^{3}\)+2*\(2^{3}\)=8+16=24 が最小値です。
（* は掛け算を表す記号です。）