ものすごくお久しぶりのnaoyaです。

僕の知る限りでは、ヘロンの公式
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} (2s=a+b+c)
の幾何的証明に用いられています。

そして今までに傍接円を利用しているのを見たのはそれだけです。
誰か詳しい方ほかの利用法ご存知ないですかねぇ。

傍接円を用いたヘロンの公式の証明は、
googleで ヘロンの公式 幾何 というキーワードで検索すれば
何件かヒットすると思いますよ。