|a+b|≦|a| + |b| を示す。

(|a| + |b|\()^{2}\)-|a+b|^2
=|a|^2+2|ab|+|b|^2-(a+b\()^{2}\)
=\(a^{2}\)+2|ab|+\(b^{2}\)-\(a^{2}\)-2ab-\(b^{2}\)
=2(|ab| - ab)
A≦|A| であるから正である。
左辺, 右辺ともに正であるから与式は成り立つ。

a を a-b におきかえると
|(a-b)+b|≦|a-b| + |b|
|a|≦|a-b|+|b|
|a|-|b|≦|a-b|