これはハッキリ言ってかなり『イヤな』問題です。
まあ、パソコンの表記の問題もありますが、大体やってて『意図』が良く分から
ない問題だと感じました。
数学不得手な僕が言うのも何なんですが、『実用的数学』の観点から言うと、
単なるパズルなカンジです。
問題を作った方、ご苦労さんです(笑)。暇なのかよっぽどイジワルな性格ですね(笑)。
取りあえず見て行きましょうか。

（１）y=tan^-1xのn次導関数について次に答えよ。

まず表記の問題ですが、－１乗ってのがパソコンじゃ良く分からなくなります。
そこで代わりに

・ｙ＝arctanｘ

って表現を用います。

(a) y'=sin(y+π/2)cosyを示せ

・ｙ＝arctanｘ

の微分公式、ってのがあったハズなんですが、見事に忘れています(笑)。
そこで次のように考えたいと思います。
次の関係は同値です。

・ｙ＝arctanｘ⇔ｘ＝tanｙ

そこで次の微分公式

・d\(\frac{y}{d}\)x＝d\(\frac{y}{d}\)u*d\(\frac{u}{d}\)x

を使って、ｘ＝tanｙを『ｘに付いて』微分したいと思います。

･１＝{(secｙ\()^{2}\)}*d\(\frac{y}{d}\)x

d\(\frac{y}{d}\)xに付いて整理すると

･d\(\frac{y}{d}\)x＝(cosｙ\()^{2}\)･･･①

普通は『ココで終わり』なんですが(笑)、まだ続きます(苦笑)。
次のように直します。

･d\(\frac{y}{d}\)x＝cosｙ×cosｙ

アトはcosｙとsinｙの位相差に着目すれば解を示せます。

(b) y''=sin(2y+2×π/2)co\(s^{2}\)yを示せ。

メンド臭いんで、①をそのまま微分したいと思います。
使う公式は依然d\(\frac{y}{d}\)x＝d\(\frac{y}{d}\)u*d\(\frac{u}{d}\)x。これ一本槍で進めます。

･ｙ''＝2cosｙ＊(－sinｙ)＊d\(\frac{y}{d}\)x
　　＝－2sinｙcosｙ＊d\(\frac{y}{d}\)x

ここでsin2y＝2sinｙcosｙを利用すると

･ｙ''＝－sin2y*d\(\frac{y}{d}\)x

アトは－sin2yとsin2yの位相差を考えて、それと(a)よりd\(\frac{y}{d}\)xは既に求められ
てるので、

･ｙ''＝sin(2y＋π)*(cosｙ\()^{2}\)

π＝2×π/2に着目すれば、解が導き出せます。

(c) y^(n+1)=n!sin｛(n+1)y+(n+1)π/2｝co\(s^{n}\)+1yを帰納法で示せ。

『力ワザ』での問題です(苦笑)。基本的に『数学的帰納法』がどうか、と言うより、
『正しく微分出きるか?』の方が大変です。もう本当はメンド臭いんでパソコンで
打ちたくないんですがね(苦笑)。
使う公式は依然d\(\frac{y}{d}\)x＝d\(\frac{y}{d}\)u*d\(\frac{u}{d}\)xです。ちょっと見て行ってみましょう。

i)ｎ＝0の場合。

これは(a)で見た通り成り立ってます。なんで『０』からはじめなきゃならんのか
良く分かんないんですけど(笑)。

ii)ｎ＋1のトキ、

y^(n+1)=n!sin｛(n+1)y+(n+1)π/2｝co\(s^{n}\)+1y

が正しいと仮定すると……ってのがまあ定石ですね。

n＋2のトキは･･････さて、どうなる?ってのが問題の主眼なんですが、
単純に言うと、kazさんの表記法に従うと、

･y^(n+2)＝{y^(n+1)}'

って事ですよね?要するに

･y^(n+1)=n!sin｛(n+1)y+(n+1)π/2｝co\(s^{n}\)+1y

をそのまま微分して

･y^(n+2)=(n+1)!sin｛(n+2)y+(n+2)π/2｝co\(s^{n}\)+2y

になる事を示せば良い。そんなアタマ使うような問題じゃないです。
ただ計算がシチメンド臭いだけです(笑)。
じゃあ気が重いんですけどやってみまひょか?丁寧に計算追って来て下さい。

･{y^(n+1)}'＝n!cos｛(n+1)y+(n+1)π/2｝*(n+1)d\(\frac{y}{d}\)x*cos^(n+1)y
　　　　　　　＋n!sin｛(n+1)y+(n+1)π/2｝*(n+1)cos^(n)ｙ*(－sinｙ)*d\(\frac{y}{d}\)x
　　　　　＝(n+1)*n!*[cos｛(n+1)y+(n+1)π/2}*cos^(n+1)y*d\(\frac{y}{d}\)x
　　　　　　　－sin｛(n+1)y+(n+1)π/2}*sinｙ*cos^(n)ｙ*d\(\frac{y}{d}\)x]

ええと、まずココまで。大丈夫でしょうか?
ココで(n+1)*n!＝(n+1)!、それと(a)の①でd\(\frac{y}{d}\)x＝cos^(2)yだったんで、
それを利用すると。

{y^(n+1)}'＝(n+1)!*[cos｛(n+1)y+(n+1)π/2}*cos^(n+1)y*cos^(2)y
　　　　　　－sin｛(n+1)y+(n+1)π/2}*sinｙ*cos^(n)ｙ*cos^(2)y]
　　　　　＝(n+1)!*[cos｛(n+1)y+(n+1)π/2}*cos^(n+3)y
　　　　　　－sin｛(n+1)y+(n+1)π/2}*sinｙ*cos^(n+2)ｙ]
　　　　　＝(n+1)!*cos^(n+2)ｙ*[cos｛(n+1)y+(n+1)π/2}*cosy
　　　　　　－sin｛(n+1)y+(n+1)π/2}*sinｙ]

とココまで。括り出しは上手く行ったでしょうか?
ココで(僕にとっては)懐かしい次の三角関数の公式を使います。

･cos(A+B)＝cosAcosB－sinAsinB

これで上記の『幾分長ったらしい部分』ってのが整理出来ますよね?
つまり、

{y^(n+1)}'＝(n+1)!*cos^(n+2)ｙ*cos｛(n+1)y+(n+1)π/2＋ｙ}
　　　　　＝(n+1)!*cos^(n+2)ｙ*cos｛(n+2)y+(n+1)π/2}

アトはcos｛(n+2)y+(n+1)π/2}とsin｛(n+2)y+(n+1)π/2}の位相差を考慮すれば
証明は終了です。
お疲れ様でした。