1.
2乗を表すのに ^2 という記号を使うことにします。
例えば k の2乗を \(k^{2}\) と書きます。

「y軸と平行な軸をもつ放物線」とは要するに2次関数 y=a\(x^{2}\)+bx+c のことです。
ただし，\(x^{2}\) の係数 a は 0 ではありません。
直線 l とこの放物線が接するということは，
y=a\(x^{2}\)+bx+c と y=kx+\(k^{2}\)+1 を連立させた方程式が解を一つだけ持つということです。
つまり，y を消去して得られる方程式
a\(x^{2}\)+(b-k)x+c-(\(k^{2}\)+1)=0
が重解を持つということです。
判別式が 0 になればいいので，
(b-k\()^{2}\)-4a{c-(\(k^{2}\)+1)}=0.
つまり (4a+1)\(k^{2}\)-2bk+\(b^{2}\)-4a(c-1)=0.
これがどんな k の値に対しても成り立つには，
4a+1=0, -2b=0, \(b^{2}\)-4a(c-1)=0
でなければなりません。
これを解くと，まず a=-\(\frac{1}{4}\), b=0 で，これより c=1 となります。
よって放物線の方程式は
y=-\(x^{2}\)/4+1 だとわかりました。

2.
たとえば直線 x=1 と l の交点の y 座標は，
x=1 を代入した式 y=k+\(k^{2}\)+1
で与えられますが，
y=(k+\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+\(\frac{3}{4}\) なので，k=-\(\frac{1}{2}\) で最小値 \(\frac{3}{4}\) をとり，k がすべての実数を動く
とき，それ以上の値を全てとります。
よって，l の通過する領域は x=1 の直線のうち，y≧\(\frac{3}{4}\) の部分を含みます。
このように考えると，m を任意の実数とし，直線 x=m のうち通過する領域に
含まれる部分がどうなっているかを求めれば，通過する範囲がわかることになります。
x=m を l の方程式に代入すると
y=km+\(k^{2}\)+1=(k+\(\frac{m}{2}\)\()^{2}\)+1-\(m^{2}\)/4.
つまり y 座標は k=-\(\frac{m}{2}\) で最小値 1-\(m^{2}\)/4 をとり，k が全ての実数を動くときに
y 座標はこれ以上の値を全て取ります。
m がすべての実数を動くとき，点 (m,1-\(m^{2}\)/4) は
x=m, y=1-\(m^{2}\)/4 とおくと y=1-\(x^{2}\)/4 という放物線上にあることがわかります。
上の考察から l が通過する範囲はこの放物線の上側だとわかります。
（実はこの放物線はちょうど 1. で求めた放物線と同じです。）
よって求める領域は，放物線 y=-\(x^{2}\)/4+1 の上側全部で，放物線上の点を含みます。