問１

上図の曲線ｆ（ｘ）＝ｘ²－２ｘ＋１において、
直線ＡＢの傾きが、平均変化率のことだから、
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）　（ｂ²－２ｂ＋１）－（ａ²－２ａ＋１）
─────────＝──────────────────
　　　ｂ－ａ　　　　　　　ｂ－ａ

　（ｂ²－ａ²）－２（ｂ－ａ）
＝─────────────
　　　　　ｂ－ａ

＝（ｂ＋ａ）－２＝ａ＋ｂ－２……（答）

問２（１）
∫（ｘ－１／\(\sqrt{\quad}\)ｘ）²ｄｘ＝∫（ｘ²－２\(\sqrt{\quad}\)ｘ＋１／ｘ）ｄｘ

＝ｘ³／３－２∫ｘ^{\(\frac{1}{2}\)}ｄｘ＋ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ

　　ｘ³　　　　ｘ^{\(\frac{1}{2}\)+1}
＝───－２・────＋ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ
　　３　　　　\(\frac{1}{2}\)＋１

＝ｘ³／３－(\(\frac{4}{3}\))・ｘ\(\sqrt{\quad}\)ｘ＋ｌｏｇ｜ｘ｜＋Ｃ……（答）

問３（１）
∫（３ｅ^x＋cosｘ）ｄｘ＝３ｅ^x＋sinｘ＋Ｃ……（答）

問３（２）
　　　cosθ　　sinθ
∫（────－────）²ｄθ＝(\(\frac{1}{4}\))∫（cosθ－sinθ）²ｄθ
　　　２　　　　２

＝(\(\frac{1}{4}\))∫（cos²θ－２cosθsinθ＋sin²θ）ｄθ
＝(\(\frac{1}{4}\))∫（１－２cosθsinθ）ｄθ
＝(\(\frac{1}{4}\))（∫ｄθ－２∫cosθsinθｄθ）
＝(\(\frac{1}{4}\))（θ＋２∫cosθｄcosθ）
＝(\(\frac{1}{4}\))｛θ＋２（cosθ）²／２｝＋Ｃ
＝(\(\frac{1}{4}\))（θ＋cos²θ）＋Ｃ……（答）

問３（３）
　　ｄｕ
∫────
　cos²ｕ

tanｕ＝ｘとおくと、

　ｄｕ
────＝ｄｘ
cos²ｕ

したがって、
　　ｄｕ
∫────＝∫ｄｘ＝ｘ＋Ｃ＝tanｕ＋Ｃ……（答）
　cos²ｕ