自然数mに対して、\(2^{n}\)+\(2^{100}\)=\(m^{2}\)･･･※
と書ける。

\(2^{n}\)={m-(\(2^{50}\))}{m+(\(2^{50}\))}
よって
m-(\(2^{50}\))=\(2^{i}\)･･･(1)
m+(\(2^{50}\))=\(2^{j}\)･･･(2)
(iとjはi＜jとなるような自然数)
(2)－(1)より
\(2^{51}\)=\(2^{i}\)*{2^(j-i)-1}

2^(j-i)-1は奇数だから2^(j-i)=2
\(2^{i}\)=\(2^{51}\)
となる。

よってi=51、j-i=1となる
したがって、j=52,i=51となる。

(1)に代入してm=3*\(2^{50}\)

※に代入して\(2^{n}\)+\(2^{100}\)=9*\(2^{100}\)

\(2^{n}\)=8*\(2^{100}\)=\(2^{103}\)

よってn=103となります。