初めまして、takaと申します。
数列の問題で教えていただきたいことがあるのでお願い致します。
『s＝2・3＋5・\(3^{2}\)＋8・\(3^{3}\)＋…＋(3ｎ－1)・\(3^{n}\)』…①
の解答で、①からsを三倍したものを引いた式、
－2s＝6＋(\(3^{3}\)＋\(3^{4}\)＋…＋\(3^{n}\)＋1)－(3n－1)･\(3^{n}\)＋1
から次の式、
－2s＝6＋{\(3^{3}\)(\(3^{n}\)－1)}/{3－1}－(3n－1)･\(3^{n}\)＋1
の{\(3^{3}\)(\(3^{n}\)－1)}/{3－1}が何がどうなったのかよく分からないので、
誰かよろしくお願い致します｡｡｡
★希望★ヒント希望★
－2s＝6＋(\(3^{3}\)＋\(3^{4}\)＋…＋3^(n＋1))－(3n－1)･3^(n＋1)
と
－2s＝6＋{\(3^{3}\)(\(3^{n}\)－1)}/{3－1}－(3n－1)･3^(n＋1)
をよく見比べてみると，
(\(3^{3}\)＋\(3^{4}\)＋…＋3^(n＋1))={\(3^{3}\)(\(3^{n}\)－1)}/{3－1}
という対応がつきます。
左辺は，初項 \(3^{3}\), 公比 3 の等比数列の和になっています。
一般に初項 a, 公比 r の等比数列の和は
a+ar+...+ar^(k-1)=a(1-\(r^{k}\))/(1-r)
あるいは，右辺の分子と分母の符号を逆にした
a+ar+...+ar^(k-1)=a(\(r^{k}\)-1)/(r-1)
となることが知られています。
（必ず高校の教科書には載っているはずです。）
ふたつめの方の公式で，a=\(3^{3}\), r=3 とおけば，
和をとる最後の項は 3^(n+1)=\(3^{3}\)*3^(n-2) ですので，
公式と見比べると k-1=n-2, すなわち k=n-1 であることがわかります。
よって，これらを公式に代入すれば
\(3^{3}\)＋\(3^{4}\)＋…＋3^(n＋1)=\(3^{3}\)(3^(n-1)－1)/(3-1)
となって，疑問にお持ちだった等式が出てきます。
\(3^{3}\)＋\(3^{4}\)＋…＋3^(n＋1)の部分は
\(3^{2}\)＋\(3^{3}\)＋…＋\(3^{n}\)
の誤りであると思われます。
初項3・\(3^{2}\)、公比3、項数n-1の等比数列の和なので
公式にあてはめると
3・\(3^{2}\){3^(n-1)-1}/(3-1)
=\(3^{3}\){3^(n-1)-1}/(3-1)
となると思います。