\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\)は定数ではないので、
abc≦(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\))/3の等号成立と、
abcが最大値を取ることは無関係です。

なにやら解決していない模様なので･･･。

この問題は僕が高校時代に悩みまくった問題のひとつです。
1ヶ月ほど悩んで結局微分すること以外にうまい解法を見出せませんでした。
（微分を用いた解法は2186を参照）

少し補足説明をさせてください。
wakkyさんの書かれた解答はcornさんが指摘するように、定数と変数を混同して
いるところに問題があります。
相加相乗平均の関係からでは、
三変数関数f(a,b,c)=abcとg(a,b,c)=(\(a^{3}\)+\(b^{3}\)+\(c^{3}\))/3を比較したとき
f(a,b,c)≦g(a,b,c)が定義域に属するすべての(a,b,c)に対して成り立つことだけ
しか言えません。そのため、最大値を決定することは不可能です。
簡単な例を挙げるとh(x)=\(x^{2}\) + 4 ≧ 2sqrt{4×\(x^{2}\)} = 4x を示したのと同じこと
ですね。これで、h(x)の最小値が4xであるとはいえませんよね。

この問題、微分以外のもっと簡単な方法で解けないものでしょうかねぇ。
どなたか良い解法をご存じないでしょうか？？

内接三角形の頂点をA，B，Cとする

内接三角形のうち面積最大の三角形が
存在するのは明らか
＃まじめにやるならば連続関数が
＃コンパクトな領域で最大値をもつことを
＃利用するのが厳密で楽ですが，
＃そこまで厳密でなくてもよいでしょう

弦ABの垂直二等分線と円周の交点をPとする
三角形ABPは弦ABを一辺とする三角形で
面積最大のものである
したがって，二等辺三角形のみを考えて
一般性を失わない

内接する二等辺三角形を一つとる．
等しい辺の一つを固定する．
このとき，固定していない二辺が等しくなければ
それよりも大きな面積を持つ三角形が存在する．

したがって，面積最大の三角形は
固定していない二辺も等しくなければいけない
すなわち，面積最大の三角形は正三角形である