(1)
a[n+1]-a[n]=n,
a[n]-a[n-1]=n-1,
.............,
a[2]-a[1]=1
と並べて書いた式を辺々加えると，
a[2]からa[n]までは符号が違うものを加え合わせるので打ち消しあって，
a[n+1]-a[1]=1+2+3+...+n=n(n+1)/2.
よって a[1]=1 より
a[n+1]=1+n(n+1)/2.
番号をずらすために n+1 を n におきかえると
a[n]=1+(n-1)\(\frac{n}{2}\).

(2) 漸化式の両辺に \(2^{n}\) をかけ，b[n]=(\(2^{n}\))a[n] とおくと，
b[n]に関する漸化式
b[n+1]=b[n]+2^(n+1)
を得る。
これを(1)と同様に並べて加えると
b[n+1]=b[n]+2^(n+1)
b[n]=b[n-1]+\(2^{n}\)
................,
b[2]=b[1]+\(2^{2}\)
より
(b[2]+b[3]+...+b[n])+b[n+1]=b[1]+(b[2]+b[3]+...+b[n])+\(2^{2}\)+\(2^{3}\)+...+2^(n+1)
となり，両辺の(b[2]+b[3]+...+b[n])は打ち消しあって，さらに
\(2^{2}\)+\(2^{3}\)+...+2^(n+1) は初項 \(2^{2}\), 公比 2 の等比数列の第 n 項までの和だから，
公式より \(2^{2}\)(\(2^{n}\)-1)/(2-1)=2^(n+2)-\(2^{2}\).
b[1]=(\(2^{1}\))a[1]=2 より,
b[n+1]=2+{2^(n+2)-4}=2^(n+2)-2.
番号を n+1 から n にずらぜば
b[n]=2^(n+1)-2.
a[n]=b[n]/\(2^{n}\)=2-\(\frac{1}{2}\)^(n-1).