武田先生へ
おひさしぶりです。
至急なんですが、2月25日に試験があるのですが
それまでに自分でやった積分の答えと先生がやってくださっ
た答えとであわせたいと思います。
また、わからない問題もあるためよろしくお願いします。
①∫（ｘ3＋１／ｘ－１）ｄｘ
②∫（１／ｅx）ｄｘ
③∫（２sinｘ＋cosｘ）ｄｘ
④∫cos２ｘｄｘ
π/4
⑤∫ cos2ｘｄｘ
0
ｄｘ
⑥∫──────
（２ｘ－１）3
1 １ ｘ
⑦∫（────＋────）ｄｘ
0 ｘ2＋１ ｘ2＋１
⑧∫ｘsinｘｄｘ
ｘ＋７
⑨∫─────ｄｘ
ｘ2－ｘ－６
⑩ｆ（ｘ）＝ｘ3－ｘ2の増減、極値を調べて、
ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを描け。
角田(スミダ)君、久しぶりです。冷たくしたので、質問しなくな
ったのかなと思っていましたが、結構勉強しているのですね。
質問は大歓迎ですが、さすがにいっぺんに１０題は多すぎます
ね。次からは、小分けして質問して下さい。
問１
∫（ｘ3＋１／ｘ－１）ｄｘ
＝ｘ4／４＋log｜ｘ｜－ｘ＋Ｃ……（答）
問２
∫（１／ｅx）ｄｘ＝∫ｅ-xｄｘ
－ｘ＝ｔとおいて、－ｄｘ＝ｄｔ
∫ｅ-xｄｘ＝∫ｅt（－１）ｄｔ
＝－ｅt＋Ｃ
＝－ｅ-x＋Ｃ……（答）
問３
∫（２sinｘ＋cosｘ）ｄｘ
＝－２cosｘ＋sinｘ＋Ｃ……（答）
問４
∫cos２ｘｄｘ
２ｘ＝ｔとおくと、２ｄｘ＝ｄｔ
∫cos２ｘｄｘ＝∫cosｔ（１／２）ｄｔ＝（１／２）∫cosｔｄｔ
＝（１／２）sinｔ＋Ｃ＝（１／２）sin２ｘ＋Ｃ……（答）
問５
π/4 π/4 １＋cos２ｘ
∫ cos2ｘｄｘ＝∫ ──────ｄｘ
0 0 ２
１ sin２ｘ π/4 π １
＝─［ｘ＋────］ ＝ ──＋── ……答
２ ２ 0 ８ ４
問６
ｄｘ
∫──────＝∫（２ｘ－１）-3ｄｘ
（２ｘ－１）3
２ｘ－１＝ｔとおくと、２ｄｘ＝ｄｔ
∫（２ｘ－１）-3ｄｘ＝∫ｔ-3（１／２）ｄｔ
１ ｔ-3+1 ｔ-2
＝─・─────＋Ｃ＝－────＋Ｃ
２ －３＋１ ４
１
＝－───────＋Ｃ
４（２ｘ－１）2
問７
1 １ ｘ
∫（────＋────）ｄｘ
0 ｘ2＋１ ｘ2＋１
1 １
∫ ────ｄｘについて
0 ｘ2＋１
１
ｘ＝tanθとくと、ｄｘ＝────ｄθ
cos2θ
ｘ＝１のとき、θ＝π／４
ｘ＝０のとき、θ＝０
1 １ π/4 １ １
∫ ────ｄｘ＝∫ ───────・────ｄθ
0 ｘ2＋１ 0 １＋tan2θ cos2θ
π/4 π/4 π
＝∫ １ ｄθ＝［θ］＝───
0 0 ４
1 ｘ
∫ ────ｄｘについて
0 ｘ2＋１
ｘ2＝ｔとおくと、２ｘｄｘ＝ｄｔ
1 ｘ 1 １
∫ ────ｄｘ＝∫ ──────ｄｔ
0 ｘ2＋１ 0 ２（ｔ＋１）
１ 1 １
＝─［log｜ｔ＋１｜］＝─・log２
２ 0 ２
したがって、
1 １ ｘ π １
∫（────＋────）ｄｘ＝──＋──・log２ ……（答）
0 ｘ2＋１ ｘ2＋１ ４ ２
問８
∫ｘsinｘｄｘ＝ｘ・（－cosｘ）－∫１・（－cosｘ）ｄｘ
＝－ｘcosｘ＋sinｘ＋Ｃ……（答）
問９
ｘ＋７ ｘ＋７
∫─────ｄｘ＝∫────────ｄｘ
ｘ2－ｘ－６ (ｘ－３)(ｘ＋２)
（ｘ＋２）＋５
＝∫────────ｄｘ
(ｘ－３)(ｘ＋２)
１ ５
＝∫─────ｄｘ＋∫────────ｄｘ
（ｘ－３） (ｘ－３)(ｘ＋２)
１ １ １
＝∫─────ｄｘ＋∫｛────－────｝ｄｘ
（ｘ－３） (ｘ－３) (ｘ＋２)
＝log｜ｘ－３｜＋log｜ｘ－３｜－log｜ｘ＋２｜＋Ｃ
＝log（ｘ－３）2－log｜ｘ＋２｜＋Ｃ
（ｘ－３）2
＝log ────── ＋Ｃ ……（答）
｜ｘ＋２｜
問１０
ｆ（ｘ）＝ｘ3－ｘ2
微分して、ｆ′（ｘ）＝３ｘ2－２ｘ＝ｘ（３ｘ－２）
ｆ′（ｘ）＝０より、ｘ＝０，２／３
ｆ（０）＝０、ｆ（２／３）＝－４／２７
増減表とグラフは下図のようになる。
