t=\(2^{x}\) とおくと，x の方程式は \(t^{2}\)-4at+a+3=0 と t の2次方程式になります。
x≦2 をみたす実数 x に対して，t=\(2^{x}\) は 0＜t≦\(2^{2}\)=4 という範囲の値を取り得ます。
また，t=\(2^{x}\), s=\(2^{y}\) に対して，t≠s ならば x≠y ですので，解くべき問題は
\(t^{2}\)-4at+a+3=0 が 0＜t≦4 の範囲で異なる 2 つの実数解を持つような定数 a の条件を
求めること，と言い換えられます。

これはもはや2次方程式の理論ですので，議論は詳細に書きませんが，
s=\(t^{2}\)-4at+a+3 のグラフがどうなっていればよいか ts 平面に図を描いて考えると，
(1) 区間の左端でグラフが t 軸の上方にあり，区間の右端ではグラフが t 軸上か
それよりも上方にあり，
(2) 軸が区間 (0,4) を横切り，頂点が t 軸の下方にあればよい
ことがわかります。

(1) より，t=0 を代入したときの s の値について a+3＞0 であることと，
t=4 を代入したときの s の値について -15a+19≧0 であることが出てきます。
これらより，-3＜a＜\(\frac{19}{15}\).

s=(t-2a\()^{2}\)-4\(a^{2}\)+a+3 より，グラフの頂点の座標は (2a,-4\(a^{2}\)+a+3) なので，
軸の条件より 0＜2a＜4 かつ -4\(a^{2}\)+a+3＜0 となります。
これらより，まず 0＜a＜2. そして 4\(a^{2}\)-a-3=(4a+3)(a-1) と因数分解できることから，
-4\(a^{2}\)+a+3＜0 より (a+\(\frac{3}{4}\))(a-1)＞0. これより a＜-\(\frac{3}{4}\) または 1＜a.
(2) から得られる範囲は 1＜a＜2 となります。

(1)，(2) の a の範囲の共通部分が答えになりますが，1＜\(\frac{19}{15}\)＜2 より，
答えは 1＜a＜\(\frac{19}{15}\) となります。