（１）1.
ヒントを用いてやってみましょう．

2sin(B/2)*cos(C/2)=sin{(B+C)/2}+sin{(B-C)/2}
です．よって，
右辺=2sin(A/2)*[sin{(B+C)/2}+sin{(B-C)/2}]
=2sin(A/2)*sin{(B+C)/2} +2sin(A/2)*sin{(B-C)/2}
と，2つの積の和として書かれます．

今，左辺は全て和の形をしているので，これをさらに和の形に直すのですが，
ここで，『△ABCにおいて』という条件を使いましょう．
つまり，A+B+C=180°⇒(B+C)/2=90°-(A/2)となり，
sin{(B+C)/2}=sin{90°-(A/2)}=cos(A/2)となります．
また，積→和の公式より，
2sin(A/2)*sin{(B-C)/2}=-cos{(A+B-C)/2}+cos{(A-B+C)/2}
です．

従って，
=2sin(A/2)*cos{A/2} -cos{(A+B-C)/2}+cos{(A-B+C)/2}．
で，
・2sin(A/2)*cos(A/2)=sinA(2倍角)
・(A+B-C)/2=90°-Cなので，cos{(A+B-C)/2}=sinC
・(A-B+C)/2=90°-Bなので，cos{(A-B+C)/2}=sinB
となり，
=sinA-sinC+sinB=左辺．

困ったら，A+B+C=180°を使ってみてください．

（１）2．
cosA+cosB+cosC=４sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）+1の右辺を和の形にします．

・2sin(B/2)*sin(C/2)=cos{(B-C)/2}-cos{(B+C)/2}
・cos{(B+C)/2}=cos(90°-A/2)=sin(A/2) (∵A+B+C=180°)
なので，右辺=2sin(A/2)*[cos{(B-C)/2} -sin(A/2)]+1
=2sin(A/2)*cos{(B-C)/2} +1-2si\(n^{2}\)(A/2)
・2sin(A/2)*cos{(B-C)/2}=sin{(A+B-C)/2} +sin{(A-B+C)/2}
=sin(90°-C)+sin(90°-B) (∵A+B+C=180°)
=cosC+cosB
・1-2si\(n^{2}\)(A/2)=cosA

より，右辺=cosA+cosB+cosC=左辺です．

それから，（２）１．の問題．
cosA+cosB=sinCですが，このまま正弦・余弦定理を使うと，
右辺だけに，△ABCの外接円の半径Rが残ってしまうので，まずいです．

なので，まず，加法定理絡みの定理で右・左辺を変形させましょう．
・cosA+cosB=2cos{(A+B)/2}*cos{(A-B)/2}
=2cos{90°-(C/2)}*cos{(A-B)/2}=2sin(C/2)*cos{(A-B)/2}
・sinC=2sin(C/2)*cos(C/2)

より，cosA+cosB=sinCから
・sin(C/2)=0
・cos{(A-B)/2}=cos(C/2)
のどちらかが成り立つことが判ります．
・sin(C/2)=0で0°＜C＜180°を満たすCは，存在しません．

・cos{(A-B)/2}=cos(C/2)のとき(-90°＜A-B/2＜90°，0°＜C/2＜90°)

(A-B)/2=C/2，または(B-A)/2=C/2のどちらかが成り立ちます．
・(A-B)/2=C/2のとき，A=B+Cなので，A+B+C=180°よりA=90°
・(B-A)/2=C/2のとき，B=A+Cなので，A+B+C=180°よりB=90°

従って，求める答えは，A=90°またはB=90°の直角三角形．

結局，正弦・余弦定理を用いた方法は，見つかりませんでした．すみません