この問題は、東京電機大学の編入試験の問題です。
自分が、今度受けるためやっているのですが、
やり方がわからないのが多々あるためお願いします。
１．ｘ＝０におけるテイラー展開を求めよ。
①ｅx
②coshｘ
２．次の関数をu(x,y)として、すべての２次偏導関数を求めよ。
①ｘ3＋ｙ3－２ｘｙ
②log（ｘ2＋ｙ2）
３．次の積分を計算せよ。
①次の不定積分を求めよ。
１
Ｉ＝∫────ｄｘ
ｘ2＋４
②次の積分を求めよ。
Ｉ＝∫∫ｘｄｘｄｙ
（Ｄ：ｘ2＋ｙ2≦１，ｘ≧０，ｙ≧０）
４．次の行列の積を計算せよ。ただし、
Ａ＝（４，－１）、Ｂ＝（ ２，－６， ４）、Ｃ＝（１，２）
（１， ２） （－１， ３，－２） （１，２）
（２，－１）
Ｄ＝（－１，０，１，２）とする。
tＡはＡの置換行列。
①ＡＢ
②tＡtＢ
③ＣＢ
④tＤＤ
５．次の線形方程式を解け。
｛ ５ｘ＋２ｙ－ ｚ－４ｗ＝ ０
｛ ２ｘ－ ｙ＋ ｚ ＝－１
｛ ｘ ＋３ｙ＋ ｚ＋７ｗ＝ １
｛ ４ｘ＋ ｙ＋２ｚ＋２ｗ＝ ２
６．微分方程式ｙ''＋ｙ'－６ｙ＝０を解け。
問１ｘ＝０におけるテイラー展開
ｘ ｘ2 ｘ3 ｘn
①ｅx＝１＋──＋──＋──＋……＋──＋……
１！ ２！ ３！ ｎ！
ｅx＋ｅ-x
②coshｘ＝─────
２
ｘ2 ｘ4 ｘ2n
＝１＋──＋──＋……＋───＋……
２！ ４！ (2n)！
問２
①u(x,y)＝ｘ3＋ｙ3－２ｘｙとおくと、
∂ｕ
──＝３ｘ2－２ｙ
∂ｘ
∂ｕ
──＝３ｙ2－２ｘ
∂ｙ
∂2ｕ
───＝６ｘ……（答）
∂ｘ2
∂2ｕ
───＝６ｙ……（答）
∂ｙ2
∂2ｕ
────＝－２……（答）
∂ｘ∂ｙ
②u(x,y)＝log（ｘ2＋ｙ2）とおくと、
∂ｕ ２ｘ
──＝────
∂ｘ ｘ2＋ｙ2
∂ｕ ２ｙ
──＝────
∂ｙ ｘ2＋ｙ2
∂2ｕ ２（ｙ2－ｘ2）
───＝────────……（答）
∂ｘ2 （ｘ2＋ｙ2）2
∂2ｕ ２（ｘ2－ｙ2）
───＝────────……（答）
∂ｙ2 （ｘ2＋ｙ2）2
∂2ｕ －４ｘｙ
────＝────────……（答）
∂ｘ∂ｙ （ｘ2＋ｙ2）2
問３
① １
Ｉ＝∫────ｄｘ
ｘ2＋４
ｘ＝２tanθとおくと、ｄｘ＝２sec2θｄθ
分母＝ｘ2＋４＝４sec2θ
２sec2θ １ θ １ ｘ
Ｉ＝∫────ｄθ＝∫─ｄθ＝─＋Ｃ＝─tan-1（─）＋Ｃ……（答）
４sec2θ ２ ２ ２ ２
②
上の領域Ｄにおける二重積分だから、
Ｉ＝∫∫ｘｄｘｄｙ
Ｄ
1 \(\sqrt{\quad}\)(1-x2) 1 \(\sqrt{\quad}\)(1-x2)
＝∫ （∫ ｘ ｄｙ）ｄｘ＝∫ ［ｘｙ］
0 0 0 0
1
＝∫ ｘ\(\sqrt{\quad}\)(1-x2) ｄｘ
0
ｘ2＝ｔとおくと、２ｘｄｘ＝ｄｔ
ｘ：０→１
─────
ｔ：０→１
1 １
Ｉ＝∫ ──（１－ｔ）\(\frac{1}{2}\) ｄｔ
0 ２
１－ｔ＝ｚとおくと、－ｄｔ＝ｄｚ
ｔ：０→１
──────
ｚ：１→０
0 １
Ｉ＝∫ ──（ｚ）\(\frac{1}{2}\)（－１）ｄｚ
1 ２
１ （ｚ）\(\frac{1}{2}\)+1 0
＝－─［ ───── ］
２ \(\frac{1}{2}\)＋１ 1
１ ２ １
＝－─（ －─ ）＝─……（答）
２ ３ ３
問４
①ＡＢ＝（4,-1）（ 2,-6, 4）＝（8+1,-24-3,16+2）＝（9,-27,18）
（1, 2）（-1, 3,-2） （2-2, -6+6, 4-4） （0, 0, 0）
（2,-1） （4+1,-12-3, 8+2） （5,-15,10）
②tＡはＡの転置行列と言い、行と列とを入れ替えたもの。
tＡtＢ
＝（ 4,1, 2）（ 2,-1）＝（ 8- 6+8,-4+3-4）＝（ 10,-5）
（-1,2,-1）（-6, 3） （-2-12-4, 1+6+2） （-18, 9）
（ 4,-2）
③ＣＢ＝（1,2）（2,-6, 4）＝（2-2,-6+6,4-4）＝（0,0,0）
（1,2）（-1,3,-2） （2-2,-6+6,4-4） （0,0,0）
④tＤＤ
＝（-1）（-1,0,1,2）＝（ 1,0,-1,-2）
（ 0） （ 0,0, 0, 0）
（ 1） （-1,0, 1, 2）
（ 2） （-2,0, 2, 4）
問５
（5,2,-1,-4）（x）＝（ 0）
（2,-1,1, 0）（y） （-1）
（1, 3,1, 7）（z） （ 1）
（4, 1,2, 2）（w） （ 2）
行列の掃き出し法で解いてみましょう。
───────── ───────── ─────────
｜ 5, 2,-1,-4｜ 0｜ ｜0,-13,-6,-39｜-5｜ ｜1, 3, 1, 7｜ 1｜
｜ 2,-1, 1, 0｜-1｜→｜0,- 7,-1,-14｜-3｜→｜0,- 7,-1,-14｜-3｜
｜ 1, 3, 1, 7｜ 1｜ ｜1, 3, 1, 7｜ 1｜ ｜0,-13,-6,-39｜-5｜
｜ 4, 1, 2, 2｜ 2｜ ｜0,-11,-2,-26｜-2｜ ｜0,-11,-2,-26｜-2｜
───────── ───────── ─────────
─────────── ─────────────
｜1,0, \(\frac{4}{7}\), 1｜- \(\frac{2}{7}\)｜ ｜1,0,\(\frac{4}{7}\), 1｜- 2/ 7｜
→｜0,1, \(\frac{1}{7}\), 2｜ \(\frac{3}{7}\)｜→｜0,1,\(\frac{1}{7}\), 2｜ 3/ 7｜
｜0,0,-\(\frac{29}{7}\),-13｜ \(\frac{4}{7}\)｜ ｜0,0, 1, \(\frac{91}{29}\)｜- 4/ 29｜
｜0,0,- \(\frac{3}{7}\),- 4｜ \(\frac{19}{7}\)｜ ｜0,0, 0,-\(\frac{77}{29}\)｜ \(\frac{539}{203}\)｜
─────────── ─────────────
─────────── ───────── ───────
｜1,0,\(\frac{4}{7}\), 1｜-2/ 7｜ ｜1,0,\(\frac{4}{7}\), 0｜ \(\frac{5}{7}\)｜ ｜1,0,0,0｜ -1｜
→｜0,1,\(\frac{1}{7}\), 2｜ 3/ 7｜→｜0,1,\(\frac{1}{7}\), 0｜\(\frac{17}{7}\)｜→｜0,1,0,0｜ 2｜
｜0,0, 1,\(\frac{91}{29}\)｜-\(\frac{4}{29}\)｜ ｜0,0, 1, 0｜ 3｜ ｜0,0,1,0｜ 3｜
｜0,0, 0, 1｜- 1｜ ｜0,0, 0, 1｜- 1｜ ｜0,0,0,1｜ -1｜
─────────── ───────── ───────
したがって、
（ｘ） （－１）
（ｙ）＝（ ２）……（答）
（ｚ） （ ３）
（ｗ） （－１）
問６
二階線形微分方程式ｙ''＋ｐｙ'＋ｑｙ＝ｒを解くときは、
ｙ＝ｅmxとおき、一般解ｙ＝ｃ1ｅm1x＋ｃ2ｅm2xを解くのが鉄則である。
ｙ''＋ｙ'－６ｙ＝０を解いてみよう。
ｙ'＝ｍｅmx
ｙ''＝ｍ2ｅmx
となるので、上式に代入すると、
ｍ2ｅmx＋ｍｅmx－６ｅmx＝０
ｅmx（ｍ2＋ｍ－６）＝０
ｅmx＞０より、
ｍ2＋ｍ－６＝０
（ｍ＋３）（ｍ－２）＝０
∴ｍ＝－３，２
したがって、
ｙ＝ｃ1ｅ2x＋ｃ2ｅ-3x……（答）