3次元を考えるときは、x,y,zのいずれか一つの座標を固定することが定石です。
この場合は(１)のようにyをこていさせます。固定とは、とりあえずy=tとして置いて、
後でyを考えましょうということです。
まず、一段階としてy=tでの、題意の立体の断面積を求めます。次の段階(２)で、
求めた断面積に高さ(今回はdtですが、ここで第一段階で固定したyを変数として
動かしてあげる)を掛ければ、体積が求まります。
つまり、S(t)に、高さの微笑量dtを掛けて、このｔを今回の定義域
|t|≦a(-a≦t≦a)で積分します。

x,y,zは互いに直行しているので、zx平面とｙ軸が垂直で、断面積S(t)に対して
dtは直行であることは大丈夫ですね。

立体の形は基本的に、分らないように問題は作ってありますので、実際の試験では
無理に捉えないようにして、三つの変数の内、一つを固定して断面積⇒体積と
考えましょう。普段の勉強で立体の形を考えるのは良いことです。

(1)この領域と平面z≦(\(y^{2}\)-\(x^{2}\)),y=t (|t|≦a)との共通部分の面積S(t)を求めよ。

y=tを0≦z≦(\(y^{2}\)-\(x^{2}\))に代入して、xz平面を考えればよいです。

y=tでのこの領域の切り口は放物線z=(\(t^{2}\)-\(x^{2}\))とx=0で囲まれた領域になります
(xz平面でグラフを描いてください)。
すると、z=(\(t^{2}\)-\(x^{2}\))はx=\(\pm\)tでｘ軸と交わるので、
-t＜x＜tの区間で、z=(\(t^{2}\)-\(x^{2}\))をzで積分すればよいとわかりますね。
従って
　S(t)=∫(\(t^{2}\)-\(x^{2}\))dx　(-t＜x＜t)
　　　=２〔\(t^{2}\)ｘ-\(\frac{1}{3}\)\(t^{3}\)〕
　　　=(\(\frac{4}{3}\))\(t^{3}\)


(2)この領域の体積V(t)を求めよ。

求める体積V(t)は、(１)で求めた断面積S(t)をtについて-a≦t≦aで積分すればよい。
従って、V(t)が奇関数であることに留意して、
　V(t)=２∫(\(\frac{4}{3}\))t=(\(\frac{4}{3}\))\(t^{3}\)
　　　=\(\frac{8}{9}\)(\(a^{3}\))

この問題の復習として、yの代わりにx=tとｘを固定して、yz平面での断面積⇒体積、
と考えて見てください(この時のxの変域なども考えてください)。
この手の問題は体積に関する基本なので、慣れたほうが良いです。
実際に、xを固定しても分れば大丈夫だと思います。
xの固定が分ったら、zを固定してしまうと計算が煩雑になります。
実感してみても良いと思います。何故、Xかyを固定するのかが分りますよ。