＃なぜこれが「幾何」なのか・・・
＃あえていうなら「代数」

単純な三項間漸化式なので一般項を求めればOKです
＃三項間漸化式は平気ですか？

a_{n}
= (\(\frac{2}{3}\))a_{1}+(\(\frac{1}{3}\))a_{0}
-(\(\frac{2}{3}\))(-\(\frac{1}{2}\))^{n-1}(a_{1}-a_{0})

なので，極限は
(\(\frac{2}{3}\))a_{1}+(\(\frac{1}{3}\))a_{0}