最初の質問について。
＞極限の連続性はどのような条件を満たすときにあらわせられるんですか？？

「極限の連続性」とは何なのか，それがわかりませんので，
申し訳ないのですがお答えできません。

次の質問について。
＞極限と微分の問題を解くときに常に考えておかないといけないことを
おしえてください・・・

これといって特に思いつきません。そもそも，「極限と微分の問題」と一口に
言ってもバラエティーに富んでいますので，どの問題にも通用するようなコツ
があるとは思えません。
強いて言うなら，数列の極限の問題に関しては，よくわかっている極限，
すなわち \(\frac{1}{n}\) や \(r^{n}\) (|r|＜1) が n→∞ の極限で 0 に収束すること，
をうまく利用できる形にもっていけないかを考えるということでしょうか。
そうしてはさみうちの原理を適用すればある値に収束することが示せることが
多いですので。
このような方針は関数の極限を求める問題にも通用します。