数学的帰納法というものを利用します。

[1] 2^(1+1)=\(2^{2}\)=4＞3=\(1^{2}\)+1+1 より，この不等式は n=1 のとき成り立つことが
確められます。
さらに，n=2 を代入してみても，8＞7 よりこの不等式が成り立つことがわかります。
[2] 2より大きいある自然数 k に対して 2^(k+1)＞\(k^{2}\)+k+1 が成り立つと仮定します。
このとき，この不等式の両辺に 2 をかけると，2^(k+2)＞2(\(k^{2}\)+k+1) が成り立つこと
になります。
さて，2(\(k^{2}\)+k+1)-{(k+1\()^{2}\)+(k+1)+1}=\(k^{2}\)-k-1=(k+1)(k-2)+1 ですが，
k≧2 と仮定しましたのでこれは正の数になります。よって
2^(k+2)＞2(\(k^{2}\)+k+1)＞(k+1\()^{2}\)+(k+1)+1
という不等式が成り立つことになります。
[3] 数学的帰納法により，
全ての自然数 n について不等式 2^(n+1)＞\(n^{2}\)+n+1 が成り立つことが示されました。