1）ta\(n^{2}\)θ-si\(n^{2}\)θ　=　ta\(n^{2}\)θ・si\(n^{2}\)θ

θ省略
ta\(n^{2}\)ｘ-si\(n^{2}\)ｘ＝si\(n^{2}\)/co\(n^{2}\)－si\(n^{2}\)
　　　　　　(tanをsinとcosで書き直す)
　　　　　　　　＝(si\(n^{2}\)－si\(n^{2}\)co\(n^{2}\))/co\(n^{2}\)
　　　　　　(分母を統一)
　　　　　　　　＝si\(n^{2}\)ｘ(１－co\(n^{2}\))/co\(n^{2}\)
　　　　　　　　　(分子をsi\(n^{2}\)でくくる)
　　　　　　　　＝si\(n^{2}\)si\(n^{2}\)/co\(n^{2}\)
　　　　　　((１－co\(n^{2}\))＝si\(n^{2}\))
　　　　　　　　　＝ta\(n^{2}\)・si\(n^{2}\)
　　　　　　((si\(n^{2}\)/co\(n^{2}\))＝ta\(n^{2}\))


2) cosθ/1+sinθ 　+　1+sinθ/cosθ　=　2secθ

まず、分母を統一すると
　　{(１＋sin\()^{2}\)＋co\(n^{2}\)}/{con(１＋sin}
　＝(si\(n^{2}\)＋２sin＋１＋sincon＋co\(n^{2}\))/{con(１＋sin}
　　分子展開
　＝２(１＋sin)/{con(１＋sin}　(si\(n^{2}\)＋co\(n^{2}\))＝１
　＝\(\frac{１}{c}\)on　＝　2secθ　(\(\frac{１}{c}\)on＝2secθです)


3）1+2sinco\(\frac{s}{1}\)-2sincos=(1+ta\(\frac{n}{1}\)-tan\()^{2}\)

1+2sinco\(\frac{s}{1}\)-2sincosに分母・分子に\(\frac{１}{c}\)o\(n^{2}\)を掛けて
si\(\frac{n}{c}\)os＝tanも考え合わせると
　　(\(\frac{１}{c}\)o\(n^{2}\)＋２ta\(n^{2}\))/(\(\frac{１}{c}\)o\(n^{2}\)－２ta\(n^{2}\))
これに
　　\(\frac{１}{c}\)o\(n^{2}\)＝(）(1+sinθ＋cosθ)^)/co\(n^{2}\)
　　　　　　＝ta\(n^{2}\)＋１
を代入すれば証明できます


4）(1+sin＋cos\()^{2}\)=2(１＋sin)(１＋cos)
　(1+sinθ＋cosθ)^を展開すると
　　１＋si\(n^{2}\)＋co\(n^{2}\)＋２sin＋２cos＋２sincos
　＝１＋１＋＋２sin＋２cos＋２sincos
　＝２(１＋＋sin＋cos＋sincos)
　＝２(１＋sin)(１＋cos)　　(ここは実際に展開して確かめれば分ります)