Xが正規分布N(μ,σ^2)に従うとき
Y=a\(X^{2}\)(aは正の定数)の分布関数F_Y(y)と確率密度関数p_Y(ｙ）を求めよ。

計算してみましたが答えが綺麗でないので自信がありません。
よろしかったら確認してください。

E(y)
=∫_-∞^∞(以下これを単に∫で表す）y*p(y)*dy
=∫2\(x^{2}\)*p(2\(x^{2}\))*2ax*dx
=4a∫\(x^{3}\)/{\(\sqrt{\quad}\)(2π)σ}*e^{-(2\(x^{2}\)-μ\()^{2}\)/2σ^2}*dx
ここで
z=(2\(x^{2}\)-μ)/σ, dx=σ/4x*dz, \(x^{2}\)=(σz+μ)/2
として計算すると
=\(\frac{a}{2}\)∫(σz+μ)/\(\sqrt{\quad}\)(2π)*e^(-\(z^{2}\)/2)*dz
=aμ/2

σ^2(y)
=∫(y-aμ/2\()^{2}\)*p(y)dy
=aσ^\(\frac{2}{2}\)-(1-\(\frac{a}{2}\)\()^{2}\)

従って
p_Y(y)=1/{\(\sqrt{\quad}\)(2π)σ(y)*e^{(x-aμ/2\()^{2}\)/2σ(y\()^{2}\)}
F_Y(y)=∫_-∞^y{p_Y(y)}}*dy

計算を途中省略してすいません。
Eが合っているようなら全部載せることを考えます。
失礼なお願いですがよろしくお願いします。

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