対偶を示す。
ε＞ 0 が存在して、任意の自然数 N に対して、自然数 n が存在して、
n ＞ N かつ \(a_{n}\) ≧ ε/ n
そこで次のような数列 { \(n_{i}\) } を構成することができる、すなわち、
i ≧ 1 に対して n_{i+1} ＞ 2 \(n_{i}\) であって、a_{\(n_{i}\)} ≧ ε/ \(n_{i}\) 。
級数の部分和 \(S_{n}\) を考える。\(a_{n}\) が単調減少であることに注意すると、
S_{\(n_{1}\)} ≧ ε、S_{n_{i+1}} - S_{\(n_{i}\)} ≧ ε/ 2 。
すなわち、S_{\(n_{i}\)} ≧ ((i+1) / 2)ε となり、
これが発散することは容易に分かる。