行列Ａ＝（４　１）　固有ベクトルＸ＝（ｘ）　固有値λとすると、
　　　　（２　３）　　　　　　　　　（ｙ）
ＡＸ＝λＸとなるＸやλが求めてみよう。
ＡＸ－λＥＸ＝Ｏ
（Ａ－λＥ）Ｘ＝Ｏ
Ｘ≠Ｏのとき、この方程式が解を持つ条件は｜Ａ－λＥ｜＝Ｏ
これを固有方程式という。
｜４－λ　１　　｜＝Ｏ
｜２　　　３－λ｜
（４－λ）（３－λ）－２＝０
１２－７λ＋λ²－２＝０
λ²－７λ＋１０＝０
（λ－５）（λ－２）＝０
∴λ＝５，２
（１）固有値λ＝５のとき、
　　　Ａ－λＥ＝Ａ－５Ｅ＝（４　１）－（５　０）＝（－１　１　）
　　　　　　　　　　　　　（２　３）　（０　５）　（２　　－２）

　　　→（－１　１）→（－１　１）
　　　　（－２　２）　（０　　０）

　　　（Ａ－λＥ）Ｘ＝Ｏより
　　　（－１　１）（ｘ）＝（０）
　　　（０　　０）（ｙ）　（０）
　　　－ｘ＋ｙ＝０
　　　∴ｘ＝ｙ
　　　したがって、
　　　Ｘ＝（ｘ）＝（ｘ）＝ｘ（１）
　　　　　（ｙ）　（ｘ）　　（１）
　　　固有ベクトルＸ＝（１）
　　　　　　　　　　　（１）
　　　つまり
　　　ＡＸ＝λＸ
　　　（４　１）（１）＝５（１）
　　　（２　３）（１）　　（１）

（２）固有値λ＝２のとき、
　　　Ａ－λＥ＝Ａ－２Ｅ＝（４　１）－（２　０）＝（２　１）
　　　　　　　　　　　　　（２　３）　（０　２）　（２　１）

　　　→（２　１）
　　　　（０　０）

　　　（Ａ－λＥ）Ｘ＝Ｏより
　　　（２　１）（ｘ）＝（０）
　　　（０　０）（ｙ）　（０）
　　　２ｘ＋ｙ＝０
　　　∴ｙ＝－２ｘ
　　　したがって、
　　　Ｘ＝（ｘ）＝（　　ｘ）＝ｘ（　１）
　　　　　（ｙ）　（－２ｘ）　　（－２）
　　　固有ベクトルＸ＝（　１）
　　　　　　　　　　　（－２）
　　　つまり
　　　ＡＸ＝λＸ
　　　（４　１）（　１）＝２（　１）
　　　（２　３）（－２）　　（－２）