y=\(2^{n}\),0＜x＜1,y=0で囲まれる面積の求め方を教えてください。
ｎはｘでしょうか。ｎだったら簡単で四角形の面積だから
　\(2^{n}\)×１＝\(2^{n}\)

ｘだったら、求める面積は
　　∫2^ｘｄｘ　　　　　　 (積分範囲０≦ｘ≦１)
　＝∫2^ｘ(ｄｘ/ｄｙ)ｄｙ　(積分範囲１≦ｙ≦２)
　ここで積分変数をｙに置き換えることを考える
　＝∫\(\frac{１}{l}\)og２ｄｙ　　－(注)
　＝〔ｙ/log２〕　　　　　 (積分範囲１≦ｙ≦２)
　＝\(\frac{１}{l}\)og２

(注)について
　ｙ＝２^ｘについて両辺、対数を取ると(対数微分法を行なう)、
logｙ＝ｘlog２であるから両辺微分すると
　ｙ'/ｙ＝log２　⇔　ｙ'＝ｙlog２
であるから
　ｄｘ/ｄｙ＝１/ｙlog２
となる。従って、
　2^ｘ(ｄｘ/ｄｙ)＝2^ｘ×１/ｙlog２
　　　　　　　　 ＝ｙ×１/ｙlog２　(\(2^{x}\)=yでx消去)
　　　　　　　　 ＝\(\frac{１}{l}\)og２
をとなるから(注)の式を得る

問題文がおかしい気がします。
そこで，y=\(2^{n}\) ではなく，y=\(2^{x}\) と考えて解答を述べます。
求める面積は∫[0→1](\(2^{x}\))dx で与えられます。
\(2^{x}\) の不定積分は (\(2^{x}\))/log2 ですから，
∫[0→1](\(2^{x}\))dx=(\(2^{1}\))/log2-(\(2^{0}\))/log2=\(\frac{1}{l}\)og2.

\(2^{n}\)は結局定数だから、
囲まれる領域は長方形で、
面積はS=\(2^{n}\)×1=\(2^{n}\)ではないのでしょうか？？

もしy=\(2^{x}\)の間違いなら、lnを自然対数として

S =∫_\(0^{1}\) \(2^{x}\)dx =∫_\(0^{1}\) e^(xln2)dx
　=[e^(xln2)/(ln2)]_\(0^{1}\)
=(2-1)/ln2
=\(\frac{1}{l}\)n2

だと思います。