aを定数とする．ただし、a＜4分の9とする．
放物線C:y＝－x二乗＋2ax－a二乗＋2a－1について、
(1)放物線Cの頂点Pの座標を求めよ．

ｙ＝－(ｘ－ａ)２乗＋２ａ－１
よって、頂点Ｐ(ａ、２ａ－１)


(2)放物線Cと直線y＝－x＋4分の9が接するときaを求めよ．

　ｙ＝－ｘ＋\(\frac{9}{4}\)
　ｙ＝－ｘ二乗＋２ａｘ－ａ二乗＋２ａ－１
について、題意の時はこの２式が重解を持つことと必要十分な為
－ｘ＋\(\frac{9}{4}\)＝－ｘ二乗＋２ａｘ－ａ二乗＋２ａ－１が重解を持つ
⇔ｘ２乗－(２ａ＋１)ｘ＋ａ２乗－２ａ＋\(\frac{13}{4}\)が重解
⇔(２ａ＋１)２乗－４(－２ａ＋\(\frac{13}{4}\))＝０
⇔ａ＝１


(3)y＝｜x－4分の9｜のグラフをLとする．
放物線CとグラフLが接するとき、接点の座標Qを求めよ．
また、グラフLとx軸の共有点をRとする．
放物線Cとx軸は2点で交わるが、x座標が大きいほうの点をAとすると、
四角形APQRの面積は？

a＜\(\frac{9}{4}\)であることを考えると、
ｙ＝ｘ－\(\frac{9}{4}\)(ｘ≧\(\frac{9}{4}\))(y＝｜x－\(\frac{9}{4}\)｜のｘ≧\(\frac{9}{4}\)の時)と
ｙ＝－ｘ二乗＋２ａｘ－ａ二乗＋２ａ－１が題意の範囲で接することはない
(∵y＝｜x－\(\frac{9}{4}\)｜(ｘ≧\(\frac{9}{4}\))、すなわちy＝x－\(\frac{9}{4}\)(ｘ≧\(\frac{9}{4}\))がＣと接するとすると、
(２)と同様にするとａ＝-\(\frac{3}{2}\)を得て、その時接点は(-2,-\(\frac{17}{4}\))となり、
ｘ≧\(\frac{9}{4}\)に対して不適。また、y＝｜x－\(\frac{9}{4}\)｜≧０を考えても反することが分る)
従って、y＝｜x－\(\frac{9}{4}\)｜とＣが接するときはｘ≦\(\frac{9}{4}\)の時である。
そこで(２)を考え合わせると、ａ＝１と分り、その接点は
　ｙ＝－ｘ＋\(\frac{9}{4}\)
　ｙ＝－ｘ二乗＋２ｘ
を連立させるとｘ＝\(\frac{3}{2}\)を得る為、接点Ｑは(\(\frac{3}{2}\)、\(\frac{3}{4}\))となる。
また、ｙ＝－ｘ二乗＋２ｘとｘ軸との交点で大きい方はｘ＝２である。
そこで以上を整理すると
　Ａ(2,0)、Ｐ(1,1)、Ｑ(\(\frac{3}{2}\),\(\frac{3}{4}\))、Ｒ(\(\frac{9}{4}\),0)
であり求める面積は三角形ＡＰＲとＰＱＲの和であるから
(ｘｙ平面での三角形の面積の公式などを使う)
　\(\frac{1}{8}\)＋\(\frac{3}{32}\)＝\(\frac{7}{32}\)