合成関数の微分法の公式の証明と同じ手法で示してみます。

y=x^(\(\frac{1}{n}\)), b=a^(\(\frac{1}{n}\)) とおくと，x=\(y^{n}\), a=\(b^{n}\) なので
{x^(\(\frac{1}{n}\))-a^(\(\frac{1}{n}\))}/(x-a)=(y-b)/(\(y^{n}\)-\(b^{n}\))
=1/{(\(y^{n}\)-\(b^{n}\))/(y-b)}.
この分母は，\(y^{n}\)-\(b^{n}\)=(y-b){y^(n-1)+y^(n-2)b+...+yb^(n-2)+b^(n-1)}
と因数分解できることから，
{x^(\(\frac{1}{n}\))-a^(\(\frac{1}{n}\))}/(x-a)=(y-b)/(\(y^{n}\)-\(b^{n}\))
=1/{y^(n-1)+y^(n-2)b+...+yb^(n-2)+b^(n-1)}.
そして，x\(\vec{a}\) のとき y\(\vec{b}\) であるから，
lim[x\(\vec{a}\)]{x^(\(\frac{1}{n}\))-a^(\(\frac{1}{n}\))}/(x-a)=1/(b^(n-1)+b^(n-2)b+...+b^(n-1)}
=1/{n*b^(n-1)}=(\(\frac{1}{n}\))*a^(\(\frac{1}{n}\)-1).