ｆ（ｘ）＝ｘｃｏｓ（１／ｘ）　　　（ｘ≠０）
ｆ（ｘ）＝０　　　（ｘ＝０）
について

①連続性
連続かどうか心配なのは、ｘ＝０のところです。
｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜≦｜ｘ｜だから、
ｘ→０のとき、ｘｃｏｓ（１／ｘ）→０
よって、lim ｆ（ｘ）＝ｆ（０）【…以下lim はｘ→０】となるから、
ｘ＝０で連続。

②微分可能性
ｆ’（０）＝lim ｛ｆ（ｘ）－ｆ（０）｝／ｘ
　　　　　＝lim　ｃｏｓ（１／ｘ）
これは、極限値を持たないから、ｆ’（０）は存在しない。
よって、ｘ＝０では微分可能ではない。

UnderBirdさんの２３９７の解答に関する質問です。

問題の②のX＝０は理解できました。
じゃあX≠０のときはどのようにしたらよいでしょうか。
詳しい解説おねがいします。

2397のUnderBirdさんの答えに質問☆
｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜≦｜ｘ｜だから、
ｘ→０のとき、ｘｃｏｓ（１／ｘ）→０
というのが理解できません。詳しい説明お願いします。

疑問の部分をうまく説明できているか少々不安ですが、
明らかなような部分も述べてあります。あしからず。
｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜
＝｜ｘ｜･｜ｃｏｓ（１／ｘ）｜
≦｜ｘ｜
　なぜなら、-1≦cos(\(\frac{1}{x}\))≦1より
　｜ｃｏｓ（１／ｘ）｜≦１であるから。

絶対値の性質とあわせて、
０≦｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜≦｜ｘ｜が成り立つ。
ここで、ｘ→０とするとはさみうちの原理より
真ん中の項｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜も０に近づかざるをえない。
よって、ｘ→０のとき、ｘｃｏｓ（１／ｘ）→０
となる。