毎回丁寧に答えていただいてありがとうございます。
二次の正方行列Αについてその固有値をα,βとし、α,βに対応する
固有ベクトルをそれぞれ(p),(r)として
(q) (s)
Ｐ=(p r)を作るとＰ^(-1)ΑＰ=(α ０)になると参考書に書いて
(q s) (０ β)
あったのですが、何でそうなるのですか。
僕は高校生ですので、絶対理解できないんじゃなければ是非知りたいです。
毎回丁寧に答えていただいてありがとうございます。
二次の正方行列Αについてその固有値をα,βとし、α,βに対応する
固有ベクトルをそれぞれ(p),(r)として
(q) (s)
Ｐ=(p r)を作るとＰ^(-1)ΑＰ=(α ０)になると参考書に書いて
(q s) (０ β)
あったのですが、何でそうなるのですか。
僕は高校生ですので、絶対理解できないんじゃなければ是非知りたいです。
Ａ＝（ａ ｂ）とすると、固有値αに対して固有ベクトル（ｐ）
（ｃ ｄ） （ｑ）
また、固有値βに対して固有ベクトル（ｒ）より、
（ｓ）
（ａ ｂ）（ｐ）＝α（ｐ）……①
（ｃ ｄ）（ｑ） （ｑ）
そして
（ａ ｂ）（ｒ）＝β（ｒ）……②
（ｃ ｄ）（ｓ） （ｓ）
１ （ｓ －ｒ）
Ｐ＝（ｐ ｒ）とおくと、逆行列Ｐ-1＝─────（－ｑ ｐ）より、
（ｑ ｓ） ｐｓ－ｑｒ
１ （ｓ －ｒ）（ａ ｂ）（ｐ ｒ）
Ｐ-1ＡＰ＝─────（－ｑ ｐ）（ｃ ｄ）（ｑ ｓ）
ｐｓ－ｑｒ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^上の①②より
１ （ｓ －ｒ）（αｐ βｒ）
＝─────（－ｑ ｐ）（αｑ βｓ）
ｐｓ－ｑｒ ^^^^^^^^^^^^^^
１ （ ｓαｐ－ｒαｑ ｓβｒ－ｒβｓ）
＝─────（－ｑαｐ＋ｐαｑ －ｑβｒ＋ｐβｓ）
ｐｓ－ｑｒ
１ （α（ｓｐ－ｒｑ） ０ ）
＝─────（ ０ β（－ｑｒ＋ｐｓ））
ｐｓ－ｑｒ
＝（α ０）
（０ β）
したがって、
２次の正方行列Ａは、その固有ベクトルで作った行列Ｐとその逆行列Ｐ-1
により挟まれた計算Ｐ-1ＡＰにより、対角に固有値がくる行列となる。