C は積分定数です。

(1) dt=cosx*dx なので
∫(cosx/(1+sinx))dx=∫dt/(1+t)=log|1+t|+C=log(1+sinx)+C.

(2) 1+ta\(n^{2}\)(\(\frac{x}{2}\))=\(\frac{1}{c}\)o\(s^{2}\)(\(\frac{x}{2}\)) より co\(s^{2}\)(\(\frac{x}{2}\))=1/(1+\(t^{2}\)). また
sinx=2sin(\(\frac{x}{2}\))cos(\(\frac{x}{2}\))=2tan(\(\frac{x}{2}\))co\(s^{2}\)(\(\frac{x}{2}\))=2t/(1+\(t^{2}\)),
cosx=2co\(s^{2}\)(\(\frac{x}{2}\))-1=2/(1+\(t^{2}\))-1=(1-\(t^{2}\))/(1+\(t^{2}\)).
そして dt=dx/(2co\(s^{2}\)(\(\frac{x}{2}\)))=(1+\(t^{2}\))d\(\frac{x}{2}\) より dx={2/(1+\(t^{2}\))}dt.
以上より，
∫(cosx/(1+sinx))dx
=∫{(1-\(t^{2}\))/(1+t\()^{2}\)}{2/(1+\(t^{2}\))}dt
=2∫(1-t)dt/(1+t)(1+\(t^{2}\)).
ここで，
(1-t)/{(1+t)(1+\(t^{2}\))}=a/(1+t)+(bt+c)/(1+\(t^{2}\))
とおいて a, b を定めます。右辺を通分すると
(分子)=a(1+\(t^{2}\))+(1+t)(bt+c)=(a+b)\(t^{2}\)+(b+c)t+(c+a)
となるので，これが 1-t に恒等的に等しいためには
a+b=0, b+c=-1, c+a=1 でなければなりません。
この連立方程式を解くと，a=1, b=-1. c=0 となります。よって
(1-t)/{(1+t)(1+\(t^{2}\))}=1/(1+t)-t/(1+\(t^{2}\))
と部分分数に分解されます。よって
2∫dt/(1+t)(1+\(t^{2}\))
=2{∫dt/(1+t)-∫tdt/(1+\(t^{2}\))}
=2log|1+t|-log(1+\(t^{2}\))+C
=log{(1+t\()^{2}\)/(1+\(t^{2}\))}+C.
ここで，1+si\(n^{2}\)(x)=(1+t\()^{2}\)/(1+\(t^{2}\)) であることから，
(1) と (2) で得られた結果は同じものであることがわかります。

通常は（１）の方法でやるのが定石でしょうねぇ。
ｃｏｓｘ／（１＋ｓｉｎｘ）＝（１＋ｓｉｎｘ）’／（１＋ｓｉｎｘ）
ですから
ｌｏｇ｜１＋ｓｉｎＸ｜＋Ｃってところでしょうね。
どんな参考書にも出てると思いますよ
（２）はこの問題を解くときには使わないと思いますが、
多分、この置換で、大抵の三角関数の積分ができるという事例を示したかった
のでしょう。
ちなみに、次の法則じみたものを示しておきます。
積分の∫記号は省略します。
ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘのとき・・・ｓｉｎｘ＝ｔと置換
ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘのとき・・・ｃｏｓｘ＝ｔと置換
ｆ（ｔａｎｘ、ｃｏｓ^2ｘ、ｓｉｎ^2ｘ）のとき、ｔａｎｘ＝ｔと置換
その他の場合
ｔａｎ（ｘ／２）＝ｔと置換
こんな感じで（２）をやってみてください
いささか酔ってますので、間違ってたらごめんなさいね（笑

∫cosx/(1+sinx) dx
（１）
ｔ＝SINｘとおくｄｘ/ｄｔ＝１/COSｘであるから
　（与式）＝∫(COSｘ/（１+ｔ）)(ｄｘ/ｄｔ)ｄｔ
　　　　　＝∫１/(１+ｔ)ｄｔ
　　　　　＝∫(１＋ｔ)'/(１＋ｔ)ｄｘ
　　　　　＝log(１＋ｔ)＋Ｃ
　　　　　＝log(１＋SINｘ)＋Ｃ　　(Ｃは定数)

(２)
(与式)＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+2SINｓCOSｓ)ｄｘ
(但しｓ＝ｘ/2、ｄｘ/ｄｔ＝２COSｘの２乗))
　　　＝∫(上と同じ式)×２COSｓの２乗×ｄｔ
　　　＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+SINｓCOSｓ)×(COSｓの２乗)ｄｔ
　　(ここで二倍角の定理)
ここで、TANｓ＝ｔ、1/(COSｓの２乗)＝ｔの２乗+１であることを考え合わせると
(与式)＝２∫(１－ｔ２乗)/(１/(COSｔ２乗)+ｔ)(COSｔ２乗)ｄｔ
　　　＝２∫(１－ｔ２乗)/(２ｔ+１+ｔ２乗)×１/(１+ｔ２乗)ｄｔ
　　　＝２∫(１－ｔ)/{(１+ｔ)(１+ｔ２乗)}ｄｔ　(式整理)
　　　＝２∫{１/(ｔ+１)－ｔ/(ｔ２乗＋１)}
　　　＝２{log(ｔ＋１)－(\(\frac{1}{2}\))log(ｔ２乗＋１)}＋Ｃ
(以下Ｃ一部省略)　　　
　　　＝log{(ｔ２乗＋２ｔ＋１)/(ｔ２乗＋１)}
　　　＝log{１＋２ｔ/(ｔ２乗＋１)}
　　　＝log{１＋２TANｓ/(TANｓ２乗＋１)}
　　　＝log{１＋２SINｓCOSｓ/(SIN２乗＋COS２乗)}
　　　＝log(１＋SINｘ)＋Ｃ　(二倍角の定理)

質問＜２４１２＞のWUさんの解答の中で
(与式)＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+2SINｓCOSｓ)ｄｘ
(但しｓ＝ｘ/2、ｄｘ/ｄｔ＝２COSｘの２乗))
　　　＝∫(上と同じ式)×２COSｓの２乗×ｄｔ
　　　＝∫(COSｓの２乗-SINｓの２乗)/(１+SINｓCOSｓ)×(COSｓの２乗)ｄｔ
とありますが、
∫(co\(s^{2}\)q-si\(n^{2}\)q)/(1+2sinqcosq)・2co\(s^{2}\)q・dx
=∫(co\(s^{2}\)q-si\(n^{2}\)q)/(1+sinqcosq)・co\(s^{2}\)q・dt
※本来はsですが見にくくなるのでqに変えてあります
と変化する過程がわかりません。
どなたか詳しくお願いします。

私は解答者さん本人ではありませんので，真意はわかりませんが，
おそらく
∫(co\(s^{2}\)q-si\(n^{2}\)q)/(1+2sinqcosq)・2co\(s^{2}\)q・dx
ここのところを
∫(co\(s^{2}\)q-si\(n^{2}\)q)/(2+2sinqcosq)・2co\(s^{2}\)q・dx
と間違えて約分されたのではないかなぁと思います。

そのほかの部分は検証していませんので，最終的な答えが正しいのかどうかは
わかりかねます。