奇数となるのは
一の位にくるのは、１，３，５の３通り
千の位にくるのは、残りの５つのなかで、０以外の４通り
百の位にくるのは、残りの４通り
十の位にくるのは、残りの３通り
３×４×４×３＝１４４通り

偶数となるのは
一の位にくるのは、０，２，４の３通り、
これを０のときと、２，４のときに場合分けします。

１の位が０のとき
残り５つのうち３つの順列だから
５×４×３＝６０通り
一の位が２，４のときは、まず一の位は２通り
千の位は残り５つのうち０以外の４通り
百の位は残りの４通り
十の位は残りの３通り
２×４×４×３＝９６通り
６０＋９６＝１５６通り

奇数１４４通り、偶数１５６通り・・・（答）

ちなみに４桁の正数は何通りあるかと考えると
５×５×４×３＝３００通りで
１４４＋１５６＝３００となって一致します。