かなり基本的な問題です。
ヒントだけにしておきます。

問題の前半は
円Ｃと直線Ｌの方程式からｙを消去してｘの二次方程式を作ります。
異なる２点で交わるのだから
その二次方程式の判別式＞０で解決です。

後半は
前半のｘの二次方程式をまともに解いたのでは計算が複雑になります。
そこで、解と係数の関係を利用します。
2つの交点のｘ座標をα、βとして
交点間の長さが４だから
（β－α）^2＋｛（－α＋ｋ）－（－β＋ｋ）｝^2＝１６
うまい具合にｋが消えるようですね
あとは、α＋βとαβが分かるので・・・
もうわかりましたね。