！マークは次のような積を表します。「階乗」と読みます。
５！＝５×４×３×２×１
ｎ！＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）……３・２・１

nを自然数とするとき　1+2・2！+3・3！+・・・・+n・n！ =（n+1)！-1 を証明
せよ。問題の与式を数学的帰納法で解いてみましょう。
（１）ｎ＝１のとき、
　　　　　左辺＝１・１！＝１
　　　　　右辺＝（１＋１）！－１＝２！－１＝２・１－１＝２－１＝１
　　　　　∴左辺＝右辺
（２）ｎ＝ｋのとき、1+2・2！+3・3！+・・・・+k・k！ =（k+1)！-1
　　　が成り立つと仮定して、
　　　ｎ＝ｋ＋１のとき成り立つことを証明すると、
　　　　　左辺＝1+2・2！+3・3！+・・・・+k・k！+(k+1)・(k+1)！
　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　＝（ｋ＋１）！－１＋（ｋ＋１）・（ｋ＋１）！
　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　＝（ｋ＋１）！（１＋ｋ＋１）－１
　　　　　　　＝（ｋ＋１）！（ｋ＋２）－１
　　　　　　　＝（ｋ＋２）！－１
　　　　　右辺＝｛（ｋ＋１）＋１｝！－１
　　　　　　　＝（ｋ＋２）！－１
　　　　　∴左辺＝右辺
（１）（２）より、すべての自然数ｎに対して、与式は成り立つ。

（追伸）画面のボタン式メニューは、マイクロソフト社のインターネット・
　　　　エクスプローラでないと見れないようです。ネットスケープを利用
　　　　の方のために、不思議な顔マークなどを入れましたので、押してみ
　　　　てください。