∬tan^(-1)\(\frac{x}{y}\)dxdy {\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦\(a^{2}\)
{x≧0
{y≧0
この二重積分を極座標に変換して求めるのですが
どうしてもわかりません。
特に、0≦θ＜π/2でtan^(-1)Xを積分してみてもうまく
いきません。
★希望★完全解答★
∬tan^(-1)\(\frac{x}{y}\)dxdy {\(x^{2}\)+\(y^{2}\)≦\(a^{2}\)
{x≧0
{y≧0
この二重積分を極座標に変換して求めるのですが
どうしてもわかりません。
特に、0≦θ＜π/2でtan^(-1)Xを積分してみてもうまく
いきません。
★希望★完全解答★
∬tan^(-1)(\(\frac{x}{y}\))dxdyと解釈します。
x=r*cos(t),y=r*sin(t)とすると、
\(\frac{x}{y}\)=r*cos(t)/{r*sin(t)}
=-tan(t+π/2)=tan{-(t+π/2)}
だから、積分は
∬tan^(-1)[tan{-(t+π/2)}]rdrdt
=∬[π-(t+π/2)]rdrdt
=∫(π/2-t)dt∫rdr
=(3π^\(\frac{2}{8}\))(\(a^{2}\)/2)
=3\(a^{2}\)*π^\(\frac{2}{16}\)