微分方程式に関しては質問＜２２７４＞　質問＜２２９３＞に書いてます。
このテの『微分方程式』って･･･ワンパターンな解法覚えておけば充分なんですよね、
実を言うと(笑)。単なる『算数』なんですよ。
大学の『微分方程式』では色々な解法扱いますが、そう言ったのは殆ど無視しておい
て(笑)、メンド臭いように見える『解き方のプロセス』を一つ覚えておいて、アトで
色々な方法を肉付けする、ってのが実は一番理に適ってます。(もっと言っちゃうと、
ホントは一番最初に行列を利用した解法覚えれば一番見通しがイイ。それ以外は現代
的な“ムダの無い数学学習の視点”上、あんま覚えなくってイイんです。)
ってなワケで、『プロセス』は全く同じなんで、要点だけ書いていきます。

i)同次方程式の解:

積分定数をAとして、

･y＝Ae^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}

が一般解。

ii)特殊解を求める。

uをxの関数として

･F(x)＝ue^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}･･･①

を仮定。微分して

･dF(x)/dx＝u'e^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}－(\(\frac{5}{3}\))*ue^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}･･･②

2階以上はロンスキアン設定の為のトリックを使うが、一階の場合はその必要は無い。
単に与題に従って、

･3*dF(x)/dx＋5*F(x)＝?

を計算すれば良い。上式に①、②を代入すると

･3*dF(x)/dx＋5*F(x)＝3u'*e^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}･･･③

となる。③が与題の右辺に等しいので、

･3u'*e^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}＝7e^(－4x)
∴u'＝(\(\frac{7}{3}\))*e^{－(\(\frac{7}{3}\))*x}

上式積分するとuが求まる。

･u＝－e^{－(\(\frac{7}{3}\))*x}
∴F(x)＝－e^(－4x)

よって与題の一般解は

･y＝Ae^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}＋F(x)
　＝Ae^{－(\(\frac{5}{3}\))*x}－e^(－4x)

以上です。

y'=d\(\frac{y}{d}\)xとする
両辺を3で割ると
y'+(\(\frac{5}{3}\))y=(\(\frac{7}{3}\))e^(-4x)
y' + hy = e^(kx)の一般解はA、Bを任意定数とすると
y=Ae^(ax)+Be^(bx)となるので代入すると
Aae^(ax)+Bbe^(bx)+(\(\frac{5}{3}\)){Ae^(ax)+Be^(bx)}=(\(\frac{7}{3}\))e^(-4x)

e^(ax){Aa+(\(\frac{5}{3}\))A}+e^(bx){Bb+(\(\frac{5}{3}\))B}=(\(\frac{7}{3}\))e^(-4x)
ここでa=-4、b≠aとすると
e^(-4x){-4A+(\(\frac{5}{3}\))A}+e^(bx){Bb+(\(\frac{5}{3}\))B}=(\(\frac{7}{3}\))e^(-4x)
これより
-4A+(\(\frac{5}{3}\))A=\(\frac{7}{3}\)
e^(bx){Bb+(\(\frac{5}{3}\))B}=0
-4A+(\(\frac{5}{3}\))A=\(\frac{7}{3}\)よりAは
A=-1
また、e^(bx)＞0なのでe^(bx){Bb+(\(\frac{5}{3}\))B}=0は
Bb+(\(\frac{5}{3}\))B=0
b=-\(\frac{5}{3}\)
∴y=-e^(-4x)+Be^{(\(\frac{5}{3}\))x}です。

また、別解としてラプラス変換を用いると
y'+(\(\frac{5}{3}\))y=(\(\frac{7}{3}\))e^(-4x)はy0を初期値とすると
sY+y0+(\(\frac{5}{3}\))Y=(\(\frac{7}{3}\))/(s+4)
Y{s+(\(\frac{5}{3}\))}+y0=(\(\frac{7}{3}\))/(s+4)
Y+y0/{s+(\(\frac{5}{3}\))}=(\(\frac{7}{3}\))/[(s+4){s+(\(\frac{5}{3}\))}]
(\(\frac{7}{3}\))/[(s+4){s+(\(\frac{5}{3}\))}]=a/(s+4)+b/(s+\(\frac{5}{3}\))とおきa、bを求めると
a=-1、b=1
Y+y0/{s+(\(\frac{5}{3}\))}=1/(s+4)+1/(s+\(\frac{5}{3}\))
ラプラス逆変換すると
y+y0e^{(-\(\frac{5}{3}\))x}=-e^(-4x)+e^{(\(\frac{5}{3}\))x}
y=-e^(-4x)+e^{(\(\frac{5}{3}\))x}-y0e^{(-\(\frac{5}{3}\))x}
y=-e^(-4x)+(1-y0)e^{(\(\frac{5}{3}\))x}
(1-y0)をBとおくと、上の結果と同じ
∴y=-e^(-4x)+Be^{(\(\frac{5}{3}\))x}
となります