問
ｆ（ｘ）＝２^x
ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ₄ｘ
ｈ（ｘ）＝ｘ²
のとき、
ｆ^-1（ｘ）＝ｌｏｇ₂ｘ
ｇ^-1（ｘ）＝４^x

（１）ｆ^-1（ｘ）＝ｌｏｇ₂ｘ
　　　ｘは真数（対数記号ｌｏｇの後ろの底２の後ろを真数という）
　　　だから、定義域はｘ＞０……（答）

（２）ｆ^-1｛ｆ（ｘ）｝＝ｌｏｇ₂（２^x）
　　　　　　　　　　　＝ｘｌｏｇ₂２
　　　　　　　　　　　＝ｘ
　　　だから、定義域はすべての実数……（答）

（３）　　　　　　　　　　log₂x
　　　ｆ｛ｆ^-1（ｘ）｝＝２　　　＝ｘ

　　　　　　　｜　　　log₂x
　　　　　　　｜ｙ＝２　　　とおき、両辺に対数をとると、
　　　　　　　｜ｌｏｇ₂ｙ＝ｌｏｇ₂ｘ・ｌｏｇ₂２
　　　　　　　｜　　　　　＝ｌｏｇ₂ｘ・１
　　　　　　　｜したがって、ｙ＝ｘ
　　　したがって、定義域はｘ＞０……（答）

（４）ｇ｛ｆ（ｘ）｝＝ｌｏｇ₄（２^x）
　　　　　　　　　　＝ｘｌｏｇ₄２
　　　　　　　　　　＝ｘｌｏｇ₄４^{\(\frac{1}{2}\)}
　　　　　　　　　　＝\(\frac{1}{2}\)・ｘｌｏｇ₄４
　　　　　　　　　　＝ｘ／２
　　　だから、定義域はすべての実数……（答）

（５）　　　　　　　　　　　　　log₄x
　　　ｈ［ｆ｛ｇ（ｘ）｝］＝（２　　　）²

　　　　　　　　　　　　　　　2log₄x
　　　　　　　　　　　　　＝２

　　　　　　　　　　　　　　　log₄x
　　　　　　　　　　　　　＝４
　　　　　　　　　　　　　＝ｘ
　　　だから、定義域はｘ＞０……（答）

（６）　　　　　　　　　　　　　log₂(x²)
　　　ｇ^-1［ｆ^-1｛ｈ（ｘ）｝］＝４

　　　　　　　　　　　　　　　　　2log₂x
　　　　　　　　　　　　　　　＝４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　log₂x
　　　　　　　　　　　　　　　＝１６

　　　　　　　　　　　　　　　＝ｘ⁴

　　　　　　　｜　　　　log₂x
　　　　　　　｜ｙ＝１６　　　とおき、両辺に対数をとると、
　　　　　　　｜ｌｏｇ₂ｙ＝ｌｏｇ₂ｘ・ｌｏｇ₂１６
　　　　　　　｜　　　　　＝ｌｏｇ₂ｘ・４
　　　　　　　｜　　　　　＝４ｌｏｇ₂ｘ
　　　　　　　｜　　　　　＝ｌｏｇ₂ｘ⁴
　　　　　　　｜したがって、ｙ＝ｘ⁴
　　　したがって、定義域はｘ≠０のすべての実数……（答）

（追伸）
折り返し、かっち君から再質問が来ました。
「定義域のことで、（１）は理解できるのですが、あとの５題の決め方
がわかりません。ある人に聞いたら、答えがＸになったからといって、
定義域が実数全体になるとは限らないということでした。（２）～（６）
の定義域を決める根拠みたいなやつを教えてください。お願いします。」

合成関数の最初の代入した形がヒントです。その状態で、成り立つため
のｘの範囲が定義域となります。
（２）はｌｏｇ₂（２^x）
　　　　　　　　^^^^←ｘはすべての実数が入る。

　　　　　log₂x
（３）は２^^^^^^←ｘは正の実数のみ入る。

（４）はｌｏｇ₄（２^x）
　　　　　　　　^^^^←ｘはすべての実数が入る。

　　　　　　log₄x
（５）は（２^^^^^^）²
　　　　　　　　←ｘは正の実数のみ入る。

　　　　　log₂(x²)
（６）は４　　^^^^←ｘは０以外のすべての実数が入る。

最初の段階で分かるが、最後の式からは定義域は分かりませんね。