問１ ΔABCにおいて、a=x+2,b=x+3,c=x+4とする。
(1)a,b,c,が三角形３辺の長さとなるためのxの値の範囲を求めよ。
(2)a,b,c,が鈍角三角形となるためのxの値の範囲を求めよ。
問２ 一直線に並ぶ水平面上の３点A,B,Cから山頂 P の迎角を測ると、
それぞれ３０°、６０°、４５°であった。
AB=200m、BC=100mであるとき山の高さを求めよ。
問３ ΔABCにおいて、次の等式が成り立つとき、この三角形は、それ
ぞれどのような三角形か。
(1)asinA+bsinB=csinC
(2)b=2acosC
(3)bcosA+acosB=b
問１
（１）ａ＋ｂ＞ｃより、
（ｘ＋２）＋（ｘ＋３）＞ｘ＋４
２ｘ＋５＞ｘ＋４
∴ｘ＞－１……（答）
（２）∠Ｃが最大なので、ここが鈍角となる。
余弦定理を利用して、
ａ2＋ｂ2－ｃ2
cosＣ＝────────
２ａｂ
９０°＜∠Ｃ＜１８０°より、
－１＜cosＣ＜０
ａ2＋ｂ2－ｃ2
－１＜────────＜０
２ａｂ
－２ａｂ＜ａ2＋ｂ2－ｃ2＜０
したがって、
｛－２ａｂ＜ａ2＋ｂ2－ｃ2……①
｛ａ2＋ｂ2－ｃ2＜０……②
①より、ｃ2＜（ａ＋ｂ）2
ｃ＞０より、ｃ＜ａ＋ｂ∴ｘ＞－１……③
②より、ａ2＋ｂ2＜ｃ2
（ｘ＋２）2＋（ｘ＋３）2＜（ｘ＋４）2
ｘ2＋２ｘ－３＜０
（ｘ＋３）（ｘ－１）＜０
∴－３＜ｘ＜１……④
③④より、
∴－１＜ｘ＜１……（答）
問２
山の高さＰＨ＝ｘとおくと、
△ＰＡＨより、ＰＡ＝２ｘ
２ｘ
△ＰＢＨより、ＰＢ＝───
\(\sqrt{\quad}\)３
△ＰＣＨより、ＰＣ＝\(\sqrt{\quad}\)２ｘ
スチュワート(1717-1785)の定理
ｂｌ2＋ａｎ2
───────＝ｍ2＋ａｂ
ａ＋ｂ
にあてはめると、
１００・４ｘ2＋２００・２ｘ2 ４ｘ2
───────────────＝───＋２００・１００
２００＋１００ ３
８００ｘ2 ４ｘ2
─────＝───＋２００００
３００ ３
８００ｘ2＝４００ｘ2＋６００００００
４００ｘ2＝６００００００
ｘ2＝１５０００
∴ｘ＝５０\(\sqrt{\quad}\)６≒１２２ｍ……（答）
問３
（１）ａsinＡ＋ｂsinＢ＝ｃsinＣ
正弦定理
ａ ｂ ｃ
───＝───＝───＝２Ｒより、
sinＡ sinＢ sinＣ
ａ ｂ ｃ
sinＡ＝───、sinＢ＝──、sinＣ＝───を与式に代入して、
２Ｒ ２Ｒ ２Ｒ
ａ2 ｂ2 ｃ2
───＋───＝───
２Ｒ ２Ｒ ２Ｒ
ａ2＋ｂ2＝ｃ2
∴∠Ｃが直角となる直角三角形……（答）
（２）ｂ＝２ａcosＣ
第２余弦定理その２
ａ2＋ｂ2－ｃ2
cosＣ＝──────── より、
２ａｂ
ａ2＋ｂ2－ｃ2
ｂ＝──────────
ｂ
ｂ2＝ａ2＋ｂ2－ｃ2
ａ2－ｃ2＝０
ａ2＝ｃ2
∴ａ＝ｃとなる二等辺三角形……（答）
（３）ｂcosＡ＋ａcosＢ＝ｂ
第１余弦定理
ｂcosＡ＋ａcosＢ＝ｃ より、
ｃ＝ｂ
∴ｂ＝ｃとなる二等辺三角形……（答）