ｒ＝１のとき ｎ^r＝ｎ→∞ より明らか。

ｒ＞１のとき
ｎ＜ｎ^r で ｎ→∞ だから ｎ^r→∞

０＜ｒ＜１のとき
ｈ＝１／ｒとおくと ｈ＞１
関数 ｙ＝ｘ^hはｘ＞０で単調増加
すなわち∞に発散する
ｙ^(\(\frac{1}{h}\))＝ｘだから
ｙ＝ｘ^(\(\frac{1}{h}\))＝ｘ^rはｙ＝ｘ^hの逆関数で
やはり単調増加であり∞に発散する。
ｙ＝ｘ^hにおいて ｙ＝ｎとなるｘの値をＡ(n)とすると
ｎ^r＝ｎ^(\(\frac{1}{h}\))＝Ａ(n)→∞