問題が変だと思います。
「導関数」は数ではありませんので，数列にはならないと思います。
とりあえず高階導関数に関して成り立つ「関数としての」漸化式は次のように
して導けます。
g(x)=1+\(x^{2}\) とおくと，
g(x)f(x)=1.
ライプニッツの公式という，関数の積の高階の導関数を一般に表す公式を利用
します。それは
(g(x)f(x))^((n))=Σ[k=0,n]nCk g^((k))(x)f^((n-k))(x)
で与えれられます。ここに nCk は n 個のものから k 個を取り出す組み合わせ
の個数です。また，h^((0)) は，微分しない，そのままの関数 h 自身を表します。
さて，(1+\(x^{2}\))'=2x, (1+\(x^{2}\))''=2, (1+\(x^{2}\))'''=0 であることから，ライプニッ
ツの公式の最初の3項（k=0, 1, 2 の項）だけが生き残ることがわかります。
よって n≧2 に対し
(g(x)f(x))^((n))
=Σ[k=0,n]nCk g^((k))(x)f^((n-k))(x)
=gf^((n))+ng'f^((n-1))+(n(n-1)/2)g''f^((n-2))
=(1+\(x^{2}\))f^((n))+2nxf^((n-1))+n(n-1)f^((n-2))
となります。
一方，実は g(x)f(x)=1 でしたから，(g(x)f(x))^((n))=0.
よって
(1+\(x^{2}\))f^((n))(x)+2nxf^((n-1))(x)+n(n-1)f^((n-2))(x)=0
という関数の漸化式を得ます。
なお，n=1 については，
0=(gf)'=2xf+(1+\(x^{2}\))f' となります。
これから，たとえば f^((n))(0)=b[n] とおくと，{b[n]} はれっきとした数列で，
漸化式
b[0]=1, b[1]=0, b[n]=-n(n-1)b[n-2] (n≧2) を得ます。
これより，
n が奇数の時は b[n]=0,
n が偶数の時は b[n]=(-1)^(\(\frac{n}{2}\))*n!
となることがわかります。

問題文が不完全？ {a(n)} は数列？それとも関数列？